Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ 209 5 страница



Чтобы определить форму элементарного высказывания Л. к., нужно еще иметь в алфавите знаки для нек-рых по­стоянных отношений, напр., «о— для отношения включения одного класса вдругой и «=»—для равенства классов.[Оба эти отношения, каждое изк-рых можетбыть выраженочерез дру­гое, содержательно определяются обычно тоже через отноше­ние элемента к классу: «класс о. включается в класс p»(«aczp»T, если и только если каждый элемент класса а есть элемент и класса Р; «класс п равняется классу р» («а=р»), если и только если всякий элемент одного из этих классов есть также и элемент другого. Элементарную формулу Л. к. те­перь можно определить так: если и и v — термы, то (uczv) и (u=f) — элементарные формулы. В остальном определение формулы Л. к. в точности повторяет определение формулы логики высказываний.

Четыре аристотелевы формы элементарных высказыва­ний (А, I, -Е, О) на этом «языке» Л. к. могут быть выражены так: «Все и суть и» как (пси); «Нек-рые и суть как! (uczV) (т. е. «неверно, что все и суть не-v»); «Никакое и не есть и» как (ucd') (т. е. «всякое и есть не-г»>); «Нек-рые и не суть то как ~] (пси) (т. е. «неверно, что все и суть v»),

В соответствии с содержат, истолкованием («семан­тикой») Л. к. элементарные формулы Л. к. могут быть тождественно-истинными, и притом «тождественно-истинными» (или «общезначимыми») в нек-ром расши­ренном смысле. Так, напр., формула ((af)b)cza), в нашем истолковании гласящая, что «Всякий эле­мент, содержащийся в обоих классах а, р, подстав­ляемых на место переменных а и 6, содержится в клас­се я, подставляемом на место а», истинна не только для любых классов a, [J к.-н. данной области D, но и для всяких классов а, (3 любой области D. В Л. к. всякая формула, обладающая тем свойством,


что она является истинной при любых значениях входящих в нее переменных, и притом в любой обла­сти D, и называется «тождественно-истинной», или «общезначимой».

Если область D содержит лишь один предмет, в ней возможны лишь два класса: пустой (0) и универсаль­ный (1). Всякая кл.-переменная может принимать по­этому в такой области лишь 2 значения: Ои 1. Таблицы возможных значений для термов (и f\v), (u\Jv), и', 1, 0, соответствующие их семантич. истолкованию, при­мут в таком случае в точности тот же вид, какой имеют соответственно таблицы для формул (u&v), (u\/v), 1 и при истолковании и и у как формул логики выска­зываний, «единицы» и «нуля» как «истины» и «лжи». Аналогично таблица возможных значений элементар­ной формулы (uC.v) будет иметь тот же вид, что и таб­лица для импликации (uZDv) в логике высказываний; таблица для формулы (и=и) — тот же вид, что и таб­лица для эквивалентности (u = v).

Поэтому если мы заменим в Ф, формуле Л. к., все элементарные формулы соответствующими им формула­ми логики высказываний (т. е. все знаки f\, |J, C,',= на &,VO, *!,= соответственно), то получим формулу Ф* логики высказываний, равнозначную (в смысле ис­тинности или ложности) формуле Ф, когда последняя рассматривается в одноэлементной области. При этом оказывается (см. D. Hilbert und W. Ackermarm, Grund-zuge der theoretischen Logik, 1959, S. 51—56), что если (I) Ф — элементарная формула Л. к., то вопрос о ее тождественно-истинности в Л. к. сводится к вопросу о тождественно-истинности в логике высказываний формулы Ф*. [Так, вопрос о тождественно-истинности в Л.к. формулы ((ap\b)(Zla) сводится к вопросу о тож­дественно-истинности в логике высказываний формулы ((a&b)Z)a). Аналогично обстоит дело для формул (в к-рых, согласно обычным соглашениям, скобки можно опустить) видов: (II) ~] SI и вообще (III) (nSl,V~12l2V--Vn2ln), (IV) (IIVS) и, более общо, (V) (1 a,V--V "I 2W»). где Ш, &!, а2,..., 3ln,S3 - эле­ментарные формулы. И только в случае формулы вида

(vi) o»,v...vi«mVa1va.V--Van),(n>2, m>0),

где все 2Ilv.., 2tn, *Вц..., ЙЗт— элементарные формулы, вопрос о ее общезначимости в Л. к. не сводится к во­просу об общезначимости в логике высказываний со­ответствующей формулы Ф*, а решается путем сведе­ния к вопросу об общезначимости хотя бы одной из п

формул: (l^V-VlSmW!),.., 0*lV...Vl*mVaB),

т. е. к случаю (V). Поскольку всякую формулу Л. к. можно привести (относительно ее элементарных фор­мул) к конъюнктивной нормальной форме, члены к-рой всегда имеют один из видов (I)—(VI), то вопрос об общезначимости формулы Л. к. действительно сво­дится к вопросу об общезначимости нек-рых формул логики высказываний, т. е.решается алгоритмически (см. Алгоритм)}.

Всякому модусу силлогистики Аристотеля, если З^и 212 —посылки, S3 —заключение, соответствует фор­мула Л. к.: ((2Ij &212)^33), к-рая для всех модусов, за исключением darapti, felapton, bamalip и fesapo, ока­зывается тождественно-истинной в Л. к. Последние 4 модуса неверны в Л. к. потому, что в ней допускают­ся пустые классы, к-рых нет у Аристотеля. Однако если ввести соответствующую оговорку, т. е. добавить к числу посылок нужное допущение непустоты нек-рого класса, то и эти модусы дают правильное заключе­ние в Л. к. (На «языке» Л. к. можно выразить непусто­ту класса а, сказав, что «Нек-рые а суть а», т. е. что «Неверно, что все а сутьне-а»: ~](ао*'). Если бы а был пустой класс, то было бы верно, в частности, что «Все а суть не-а»).

Исторически—в трудах Лейбница, Иоганна и Дании­ла Бернулли (конец 17 — нач. 18 вв.), Буля, Джевонса, Шредера, Пирса, Порецкого, Дж. Венна и др. (2-я


226 ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ


пол. 19 в.) — Л. к. возникла и развивалась в резуль­тате попыток свести решение логич. задач силлоги­стики Аристотеля к решению нек-рых задач арифме­тики, алгебры или геометрии. Именно для целей Л. к. была построена алгебра Буля (1854), сыгравшая су­ществ, роль в развитии совр. абстрактной алгебры. Именно в применении к Л. к. появились первые при­емы наглядного геометрич. решения задач логики: «круги» Эйлера и диаграммы Венна. Проблема разре­шения для логики классов была решена впервые — на основании подготовивших ее решение работ Э. Шре­дера (1890—95) —Лёвенхеймом (1915). Более силь­ные результаты, относящиеся к расширенной Л. к. (допускающей и классы классов) или к эквивалентным ей логич. исчислениям, были получены в дальнейшем Т. Сколемом (1919), нем. математиком Г. Беманом (1922), Жегалкиным (1928—29) и др. Очень простые и остроумные решения предложены нем. ученым

B. Аккерманом.и—для формализованной силлоги­
стики Аристотеля —■ Лукасееичем.

В наст, время Л. к. редко излагается уже как особый раздел совр. (математической ) логики, поскольку ее задачи полностью решаются в логике предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов); силлогистика же Аристотеля находит лучшее выраже­ние в специально посвященном ее формализации исчи­слении Лукасевича.

Будучи таким усилением исчисления высказываний, в к-ром осн. логич. задачи остаются еще алгоритми­чески разрешимыми, Л. к. находит широкие примене­ния в технике, прежде всего к синтезу машин, модели­рующих нек-рые операции человеческого мышления.

Лит.: Кутюра Л., Алгебра логики, пер. с франц., О., 1909; Ж е г а л к и н И. И., Арифметизация символич. логики, Матем. сб., т. 35, вып. 3—4, 1928; т. 36, вып. 3—4, 1929; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоре-тич. логики, пер. с нем., М., 1947; гл. 2 и значительно усо­вершенствованное 4 нем. изд., Берлин, 1959, гл. 2; Б и р к-г о ф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; К л и н и

C, Введение в метаматематику,М., 1957 (содержит подробную
библиографию, в к-рой, в частности, имеются данные об
упомянутых в тексте работах Бемана, Буля, Лёвенхейма,
Сколема, Шредера); Лукасевич Я., Аристотелевская
силлогистика с точки зрения совр. формальной логики,
пер. с англ., М., 1959; Беркли Э., Символическая логика
и разумные машины, М., 1961; Ackermann W., Sol­
vable cases of the decision problem, Amst., 1954, ch. 3—4.

С. Яновская. Москва.

ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ— одно из направ­лений логики, занимающихся ее основаниями, т. е. такими осн. понятиями и методами, к-рые при построе­нии формальных логич. систем или исчислений предпо­лагаются обычно не нуждающимися в пояснениях (со­держательно понятными) и не анализируются. Особое внимание уделяется при этом понятиям переменной, функции, множества, различению типов переменных (предметные, предикатные, пропозициональные и др.), правилу подстановки, логич. антиномиям.

В системах математической логики (призванных фор­мализовать логич. выводы) правила вывода, хотя и формулируются содержательно, но, по идее, должны быть вполне доступны для одноактного автоматам, выполнения. Нек-рые из них, вроде известного modus ponens, позволяющего из выведенных уже формул А и {А^)В) вывести формулу В, представляются непо­средственно удовлетворяющими этому требованию. В др. случаях, прежде всего для правила подстановки (особенно на место предикатных переменных), форму­лировка правила настолько сложна (требует введе­ния ряда новых терминов, проверки выполнения или невыполнения трудно формулируемых условий), что даже квалифицированному специалисту бывает не­легко решить вопрос о ее корректности. Выполнить такое правило поэтому во многих случаях отнюдь не просто. В Л. к. правило подстановки сводится к це­почке правил, не более сложных, чем modus ponens. Анализ выявляет трудности и в др. упомянутых выше


понятиях, формализацией (или устранением) к-рых и занимается Л. к.

История Л. к. начинается с труда сов. математика М. И. Шейнфинкеля «О кирпичах матем. логики» [(М. Schonfinkel, Ober die Bausteine der mathema-tischen Logik, «Math. Ann.», 1924, Bd 92); краткое пояс­нение смысла исходных функций Шейнфинкеля имеет­ся в статье С. А. Яновской «Основания математики и математическая логика» (см. сб. «Математика в СССР за тридцать лет 1917—1947», 1948, с. 31—33)], поло­жившего в основу логики нек-рые три индивидуаль­ные функции С, S, U (рассматриваемые как особые предметы, отличные от значений функций) и одну операцию: приложения функции к аргументу (к-рым может быть и функция), обозначаемую только тем, что знак аргумента ставится непосредственно за знаком функции. Функции от п аргументов («-мест­ные функции) сводятся Шейнфинкелем к функци­ям от одного аргумента (к одноместным функ­циям). Задание же последних не предполагает у него (в отличие от того, как это принято в т. н. классич. математике) предварит, задания множеств значений аргументов и значений функции. Понятие функции оказывается, т. о., независимым от понятия множе­ства, с к-рым связаны большие трудности (см. Па­радокс). Шейнфинкель полагал, что введенных им функций С, S, U достаточно для представления лю­бых выражений математич. логики (в т. ч. и содер­жащих кванторы «все» и «существует») в виде слов в алфавите, состоящем только из трех латинских букв С, S, U и скобок. Выражения логики должны были сводиться, т. о., к комбинациям (с повторениями) из букв С, S, U (и скобок), откуда и название «Л. к.» (предложенное в 1930 X. Кёрри). Употребление же переменных должно было быть вообще исключено из логики.

Чтобы показать на простом примере, как это делается, рассмотрим комбинатор А такой, что Аху=х+у, и комби­натор С такой, что Cfxy=fyx; [приложение комбинатора А к аргументам х, у дает х+у; приложение комбинатора С к f(x, у) дает f(y, х)—в более обычных обозначениях]. Сум­му у +х в таком случае можно выразить как САху. Тож­дество х+у = у+х выражается при этом в виде Аху—САху. И если (как это делается обычно в математике) трактовать тождественное равенство / (ж,,..., xn)=g(x,..., хп) как дру­гое выражение для того, что f=g (т. е. считать, что функ­ции fag, относящие обе одни и те же объекты к одним и тем же значениям аргументов, отождествляются нами), то другим выражением для тождества х-\-у=у-\-х будет А = СА — формула, не содержащая переменных.

Как показало дальнейшее развитие идей Шейнфин­келя, их осуществление — в применении к той части Л. к., к-рая призвана была заменить уже и опери­рование с кванторами,— оказалось отнюдь не столь простым, как это представлялось их автору, и потре­бовало дальнейших исследований. Среди последних выделяются прежде всего работы Кёрри.

Первые работы Кёрри по Л. к. появились в 1929—30. В них он пользовался системой исходных функций («комбинаторов»), отличной от введенной Шейнфинкелем, а также разработал технику вывода для Л. к., к-рой не было у Шейнфинкеля. Непротиво­речивость той части системы Л. к., в к-рой еще нет аналога для кванторов (т. н. «чистой» Л. к.), также была доказана в этих работах Кёрри. В это же время Чёрчем было разработано его исчисление Х-конвер-сии, в к-ром были получены первые в истории науки доказательства неразрешимости нек-рых массовых проблем (см. Алгоритм, Разрешения проблемы). В диссертации «Математическая логика без перемен­ных» (J. В. Rosser, A mathematical logic without vari­ables, 1935) амер. математик Россер показал эквива­лентность Л. к. и исчисления ^-конверсии. В том же 1935 К лини и Россер обнаружили противоречие в первоначальной системе Чёрча, к-рое, т. о., ока­залось имеющим место и в применении к Л. к.: не


ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ 227


к «чистой», а к «заключительной» (illative), вклю­чающей импликацию и аналоги для кванторов. Чтобы избежать этого противоречия, «заключитель­ную» Л. к. приходится строить либо как некласси­ческую, либо как содержащую предметы разных (не сводимых друг к другу) категорий (что и было сделано Кёрри). В логику приходится, т. о., включать нек-рые сведения о предметах (о существовании разных кате­горий предметов и, следовательно, о нек-рых специфич. свойствах их), к-рые естественно относить уже к обла­сти онтологии или еще более конкретных наук, изучающих специфицированные предметы. В развитии Л. к., т. о., полностью подтверждаются принципы, ясные с т. зр. материалистич. диалектики: о неотдели­мости логики от онтологии, о роли противоречия в раз­витии науки, о способах «снятия» противоречия с по­мощью большей конкретизации исследуемых пред­метов и др

Поскольку в Л. к. исходным является понятие фун­кции, а не множества, естественно, встает задача построить теорию множеств, исходя из Л. к. Такие попытки предприняли Кёрри в 1934 (опубликовано только резюме его работы) и Коген (1955), в работе к-рого (она посвящена обоснованию средствами Л. к системы аксиом Гёделя для теории множеств) нем. математик Титгемейер обнаружил, однако, противо­речие, свидетельствующее о том, что попытка Когена не удалась. В 1952 Кёрри предложил использовать Л. к. при составлении программ для вычислит, машин. Лит.: Curry H., An analysis of logical substitution, «Amer. J. Math.», 1929, v. 51, p. 363—84; его же, Grundlagen der kombinatorischen Logik, там же, 1930, v. 52, p. 509—36; 789—834; его же, Foundations of the theory of abstract sets from the standpoint of combinatory logic, «Bull. Amer. Math. Soc.», 1934, v. 40, № 9, p. 654; e г о ж е, The logic of program composition, в кн.: Applications scien-tifiques de la logique mathematique. Actes du 2-е colloque international de logique mathematique, Paris, 22—30 a6ut (952, P.—Louvain, 1954, p. 97—102; К 1 e e n e S. С and Bosser J. В., The inconsistency of certain formal logics, «Annales Mathem.», 1935, v. 36, ser. 2, p. 630—36; Cogan E. J., A formalization of the theory of sets from the point of view of combinatory logic, «Z. math. Logik und Grundlagen Math.», 1955, Bd 1, H. 3, S. 198—240; Gur­ry H. and F e у s R., Combinatory logic, v. 1, Amst., 1958 (имеется библиогр.); Titgemeyer R., Cber einen Widerspruch in Cogans Darstellung der Mengenlehre, «Z, math. Logik und Grundl. Math.», 1961, Bd 7, H. 3.

__ С. Яновская. Москва.

ЛОГИКА ОТНОШЕНИИ— 1) Один из разделов совр. логики, представляющий собой теорию отно­шений. В этом смысле термин «Л. о.» употребляет, напр., Э. Шредер («Лекции по алгебре логики» — Е. Schroder, Vorlesungen uber die Algebra der Logik, Bd 3, 1895); в «Principia mathematica» Уайтхеда и Рассела (А. N. Whitehead and B. Russel, Principia mathematica, v. 1, 1910, § 21) им обозначена более узкая область — именно та часть теории отношений, в к-рой исследуются общие свойства отношений, не имеющие аналогов в теории классов.

2) Особое направление в логике и ее филос. истол­ковании, отличающееся специфич. пониманием осн. форм мышления (понятий, суждений, умозаключе­нии). Возникло во 2-й пол. 19 в. в связи с развитием теории отношений и выявлением важной роли отно­шений, суждений с отношениями и умозаключений об отношениях в науч. познании. Развитие Л. о. происходило гл. обр. на базе неокантианства позд­него периода, особенно его франц. разновидности — неокритицизма (Лашелъе, Виндельбанд, Кассирер, III. Серрюс и др.). В России видным представителем Л. о. был Поварнин, стремившийся развивать идеи Л. о. вне связи с к.-л. определенной философской концепцией.

Специфика взглядов представителей Л. о. заклю­чена прежде всего в понимании суждения. В отличие от традиц. логики, в к-рой все простые суждения понимались как утверждения или отрицания свой-


ства у предмета и сводились т. о. к схеме «S есть Р», в Л. о. все суждения истолковывались как суждения об отношениях и сводились к схеме a R Ь (в к-рой R— нек-рое двучленное отношение, а а и Ъ — обозначения двух к.-л. предметов). В соответствии с таким пони­манием представители Л. о. трактовали умозаклю­чения как перестановки терминов в суждениях (напр.: «линия а параллельна Ъ, следовательно, Ь парал­лельна а»), переносы отношений с одних предметов на другие (напр.: «а больше Ь, Ь больше с, следо­вательно, а больше с») и т. д. на основе формальных свойств (симметричность, транзитивность и др.) соот­ветствующих отношений. Высказывания, в к-рых выражаются эти свойства, рассматривались как логич. принципы, подобные, напр., аксиоме силлогизма. (Начало такому истолкованию суждений и умозаклю­чений положил О. до Морган, явившийся также од­ним из основоположников теории отношений в мате-матич. логике). Т. о., предполагалось, что с каждым отношением должен быть связан свой принцип умо­заключения, что крайне затрудняло построение об­щей теории умозаключений. Больше того, на пути Л. о. вообще было невозможно охватить все формы логич. выводов, т. к. схема а Л 6 не представляет даже всех суждений с двучленными отношениями (охватывая лишь единичные суждения с этими отно­шениями; для выражения суждений с двучленными отношениями в других, более сложных, случаях нужны кванторы), не говоря уже о суждениях с мно­го (трех-, четырех- и т. д.) членными отношениями. Естественно, что развитие теории умозаключений и суждений пошло по др. пути, именно по пути, определенному математич. логикой, в к-рой учиты­вается наличие многоместных отношений и различие между свойствами и отношениями, а в качестве осно­ваний умозаключений выделяются и исследуются логические отношения (наиболее общие отно­шения, определяющие логич. формы мысли), все же др. отношения относятся к содержанию мысли, причем высказывания, выражающие свойства этих отношений, рассматриваются как посылки умо­заключений. Поскольку в Л. о. не проводилось раз­личение логич. и внелогич. отношений по их роли в мышлении, в ней игнорировалось различие между логич. формой и содержанием мысли. На этом именно основано неправильное представление атрибутивных суждений вида «S есть Р» как суждений об отношениях (заметим, что о наличии логич. отношений, напр. отношения принадлежности свойства предмету, в та­ких суждениях знала уже традиц. логика, но не относила их к содержанию суждения); не случайно поэтому, что такое представление оказывается обычно весьма искусственным (напр., Поварнин представлял суждение «кошка лежит» как говорящее об отно­шении между кошкой и состоянием лежания).

Характерное для Л. о. истолкование суждений приобрело у неокантианских представителей этого направления явно выраженный субъективно-идеали-стич. характер; оно было обусловлено их стремлением «очистить» логику от «метафизики» (выражающейся в признании существования вещей вне человеч. созна­ния) и от «субстанциализма», к-рые вносятся в нее, как они утверждали, аристотелевским (традицион­ным) пониманием суждения. Преимущество схемы aRb, с их т. зр., в том, что она облегчает трактовку суждений как актов синтеза представлений, в к-рых, согласно их взглядам, происходит формирование пред­метов окружающего мира. Так, Серрюс видел осн. смысл Л. о. в том, что она отказывается от понима­ния суждений как отнесений предикатов к бытию (см. «Опыт исследования значения логики», М., 1948, с. 124). Кассирер пытался создать теорию понятия в духе Л. о., согласно к-рой понятия и предметы


228 ЛОГИКИ-СОФИСТЫ - ЛОГИЦИЗМ


действительности возникают на основе развиваемых мышлением отношений.

Развитие науки, в особенности в последние деся­тилетия, убедительно показало несостоятельность как философских, так и собственно логич. предпосылок Л. о. В частности, развитие символич. логики опро­вергло характерное для Л. о. понимание суждений и др. форм мысли; оно продемонстрировало, что при построении любой логич. системы, претендующей на формализацию определ. областей знания и спосо­бов рассуждений людей, всегда предполагается суще­ствование нек-рой предметной области, к объектам к-рой относятся формулируемые в этой системе истин­ные высказывания.

Лит.: Риккерт Г., Границы естественно-научного образования понятий, пер. с нем., СПБ, 1903; В и н д е л ь-б а н д В., Прелюдии, пер. с нем., СПБ, 1904; его же, Принципы логики, пер. с нем., М., 1913; КассирерЭ., Познание и действительность, пер. с нем., СПБ, 1912; П о-в а р н и н С. И., Логика. Общее учение о доказательстве, П., 1915; его ж е, Логика отношений, П., 1917; Т а в а-н е ц П. В., О структуре суждения в атрибутивной логике и в логике отношений, «Изв. АН СССР. Серия истории и философии», 1946, т. 3, № 6; е г о ж е, Об идеалистиче­ской критике аристотелевской теории суждения, там же, т. 6, 1947, М4; его же, Суждение и его виды, М., 1953, гл. 11, § 3; В о й ш в и л л о Е. К., Критика логики отноше­ний как релятивистского направления в логике, в кн.: Философские записки, т. 6, М., 1953; его ж е, Об одной логической концепции, «Вопр. философии», 1957, № 6; Lachelier J., Etudes sur le sillogisme, P., 1907; S err us C-, Le parallelisme logico-grammatical, P., 1933.

E. Войшвилло. Москва.

ЛОГИКИ-СОФЙСТЫ— последователи древ'некит. филос. направления минцзя (школы имен) (5—2 вв. до н. э.). Наибольшей известностью пользуются Гун-сунъ Лун и Хуэй Ши — представители двух противо­положных течений этой школы. Менее известны др. Л.-с: Дэн Си, Инь Вэнь, Мао Гун, Чэнгун Шэн и Хуан-гун. Учение представителей этой школы сво­дилось гл. обр. к логич. рассуждениям о соотношении между именем (названием вещи) и содержанием (сущ­ностью вещи). Теория Л.-с. о сущности вещей и их названиях сводится к доказательству и разработке идеи о том, что все в окружающем мире зависит от названия. Л.-с. утверждали, что все неурядицы в жизни происходят от того, что название не всегда соответствует содержанию вещи или понятия. Доста­точно привести их в соответствие, как в жизни начнет царить гармония (учение об исправлении имен). Примерно такие же рассуждения можно встретить в конфуцианстве. При помощи схоластич. рассужде­ний о названиях, игнорируя подлинную сущность законов объективного мира, Л.-с. доказывали, что «истинное все же не истинно». Они пришли к утверж­дению отдельного и независимого существования аб­стракций.

ЛОГИСТИКА(от греч. Хорзихт) — искусство вычислять, рассуждать). У древних греков Л. наз. искусство вычислений и геометрич. измерений, т. е. практич. арифметика, противопоставлявшаяся тео-ретич. математике. В этом значении этот термин употреблялся в Зап. Европе вплоть до 17 в. Но уже Лейбниц пользовался словом logistica (так же как и термином logica mathematica) как синонимом для calculus ratiocinator (исчисления умозаключений), идею к-рого он выдвинул. В 1904 на Международном филос. конгрессе в Женеве этот термин был предло­жен (независимо Ительсоном, Лаландом и Кутюра) для обозначения математической логики; в наст, время чаще всего употребляется именно в этом смыс­ле. В лит-ре встречается, однако, и иное его употреб­ление: как название того этапа в логике, к-рый пред­ставлен логич. работами Рассела и его школы или связанного с этими же работами направления в фило­софии математики, к-рое иначе наз. логицизмом.

От «Л.» как названия математич. логики образо­ван ряд важных терминов, употребляемых в логич.


и филос. лит-ре. Так, характерный для математич. логики способ формализации посредством построения формализованных языков часто наз. логистиче­ским методом; чисто формальную часть фор­мализованного языка (т. е. неинтерпретированное ис­числение) наз. логистической системой (а также формальной системой).

Лит.: Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, [т.] 1, пер. с англ.,М., 1960, с. 48—60, 373—378; Ноль-м а н Э. Я., История математики в древности, М., 1961, с. 73—74; «Revue de Metaphysique et de Morale», v. 12, 1904; The dictionary of philosophy, ed. D. Runes, 4 ed. N. Y., 1942.

ЛОГИЦИЗМ— направление в области филос. проб­лем математики, пытающееся обосновать математику путем сведения ее к логике, т. е. путем определения ее «неопределяемых» (исходных) понятий в терминах логики, формулировки всех вообще ее предложений на «языке» математической логики и доказательства их (в т.ч. и аксиом) по правилам этой же логики.

Предшественником Л. считается обычно Лейбниц, основателем Л. является Фреге, предпринявший по­пытку построить арифметику натуральных чисел как систему предложений, выводимых по правилам логи­ки из сформулированных им (в терминах логики) определений натуральных чисел и операций с ними.

Поскольку в это время уже было осуществлено све­дение геометрии к алгебре (аналитич. геометрия) и анализу (дифференциальная геометрия), математи­ческий же анализ удалось арифметизировать (путем теоретико-множеств. сведения действит. чисел к мно­жествам множеств и т. д. натуральных чисел), то от осуществленного Фреге сведения натуральных чисел к объемам понятий уже, казалось, было неда­леко к сведению всей вообще математики к глубоко и тонко разработанной Фреге, хотя и очень громозд­кой, системе логики.

Однако в системе Фреге Расселом было обнаружено противоречие, известное под названием «парадокса Рассела» (см. Парадоксы), побудившее Рассела пред­принять новую попытку свести «чистую» математику к «чистой» логике, использовав осн. идею Фреге и вве­денную Пеано удачную математич. символику. Эта попытка, сделавшая Рассела осн. представителем Л., была осуществлена им вместе с Уайтхедом в боль­шом, трёхтомном, и все же незаконченном труде «Principia Mathematica» (1910—13), сыгравшем важ­ную роль в дальнейшей истории математич. логики и оснований математики. В ходе жарких дискуссий, к-рыми было встречено появление этой работы (наи­более резкой, хотя и отнюдь не справедливой, была критика Л. со стороны Пуанкаре), были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что классич. «чистая» матема­тика вообще не может быть сведена к логике, трак­туемой, как этого хотел Рассел, как система тавто­логий, истинных a priori (или, по Лейбницу, верных вообще во всех «возможных мирах», и потому ничего не говорящих нам о мире, в к-ром мы живем и дей­ствуем). Действительно, именно в применении к Prin­cipia Mathematica и родственным ей системам были доказаны Гёделем (1931) его осн. теоремы о их прин­ципиальной неполноте (т. е. о невозможности вывести ни в одной из них все содержательно истинные пред­ложения математики) и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Эти теоремы,— а /акже доказанная вскоре (1936) Чёрчем неразрешть мость разрешения проблемы в системах типа Principia Mathematica — равно как и обнаруженная самим Рас­селом невозможность доказать, не обращаясь к естест­вознанию, необходимую ему аксиому о бесконечности множества вещей в мире или логически обосновать т. н. аксиому сводимости, к-рую Рассел вводил


ЛОГИЦИЗМ 229


с целью избежать нарушений «принципа пороч­ного круга» в определениях понятий в его си­стеме, не выбрасывая из нее ряда осн. теорем клас-сич. математики,— показали неосуществимость по­пыток обосновать классич. (теоретико-множествен­ную) математику, трактуя ее как логику, строящую­ся a priori, т. е. по существу идеалистически.

Большинство позднейших последователей Л. пы­тается исправить недостатки системы Рассела с по­мощью т. н. «конструктивного номинализма>> (см. Номинализм), трактующего множества (объемы по­нятий) не как особые абстрактные сущности или единичные «идеальные объекты», обладающие само­стоят, существованием наряду с вещами, из свойств к-рых они, согласно особому «принципу абстракции», были извлечены, а лишь как коллективы, состоящие из отдельных (изолированных друг от друга) кон­кретных вещей. Такого рода системы были разрабо­таны или намечены, напр., Лесьневским и его уче­никами, а также амер. логиками Куайном, Гудменом, . Мартином, Вуджером, Генкиным и др. Сам Рассел в дальнейшем также пытался искать выход из обна­руженных им трудностей, интерпретируя свою си­стему в духе, отличном от его первоначальных наме­рений; но, перейдя на позиции, гораздо более близ­кие к т. зр. Венского кружка неопозитивистов, не слу­чайно не нашел при этом выхода из трудностей, с к-рыми встретился. [О первоначальных идеях Рас­села, направленных против трактовки математич. объектов и истин как произвольных творений нашего разума, хорошо говорят, напр., следующие слова из его статьи «Recent work in the philosophy of mathe­matics» (1901): «Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но есть только мнение и частное суждение; что каждый из нас обусловлен, в своей точке зрения на мир, его личными особенностями, личным вкусом и склонностями; что нет внешнего царства истины, к которому с помощью терпения и дисциплины, мы можем, наконец, получить доступ, но есть только истина для меня, для тебя, для каж­дой отдельной личности. Людьми этого склада ума отрицается одна из главных целей человеческих уси­лий, и высшее достоинство беспристрастия, бесстраш­ного познания того, что есть, ускользает от нашего морального взора. По отношению к такому скепти­цизму математика является неизменным укором, ибо ее здание истин стоит непоколебимо и неприступно ни для какого оружия сомневающегося цинизма» («Mysticism and Logic», 1917, p. 71)].

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.