ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ 209 5 страница

Чтобы определить форму элементарного высказывания Л. к., нужно еще иметь в алфавите знаки для нек-рых по­стоянных отношений, напр., «о— для отношения включения одного класса вдругой и «=»—для равенства классов.[Оба эти отношения, каждое изк-рых можетбыть выраженочерез дру­гое, содержательно определяются обычно тоже через отноше­ние элемента к классу: «класс о. включается в класс p»(«aczp»T, если и только если каждый элемент класса а есть элемент и класса Р; «класс п равняется классу р» («а=р»), если и только если всякий элемент одного из этих классов есть также и элемент другого. Элементарную формулу Л. к. те­перь можно определить так: если и и v — термы, то (uczv) и (u=f) — элементарные формулы. В остальном определение формулы Л. к. в точности повторяет определение формулы логики высказываний.

Четыре аристотелевы формы элементарных высказыва­ний (А, I, -Е, О) на этом «языке» Л. к. могут быть выражены так: «Все и суть и» как (пси); «Нек-рые и суть v» как! (uczV) (т. е. «неверно, что все и суть не-v»); «Никакое и не есть и» как (ucd') (т. е. «всякое и есть не-г»>); «Нек-рые и не суть то как ~] (пси) (т. е. «неверно, что все и суть v»),

В соответствии с содержат, истолкованием («семан­тикой») Л. к. элементарные формулы Л. к. могут быть тождественно-истинными, и притом «тождественно-истинными» (или «общезначимыми») в нек-ром расши­ренном смысле. Так, напр., формула ((af)b)cza), в нашем истолковании гласящая, что «Всякий эле­мент, содержащийся в обоих классах а, р, подстав­ляемых на место переменных а и 6, содержится в клас­се я, подставляемом на место а», истинна не только для любых классов a, [J к.-н. данной области D, но и для всяких классов а, (3 любой области D. В Л. к. всякая формула, обладающая тем свойством,

что она является истинной при любых значениях входящих в нее переменных, и притом в любой обла­сти D, и называется «тождественно-истинной», или «общезначимой».

Если область D содержит лишь один предмет, в ней возможны лишь два класса: пустой (0) и универсаль­ный (1). Всякая кл.-переменная может принимать по­этому в такой области лишь 2 значения: Ои 1. Таблицы возможных значений для термов (и f\v), (u\Jv), и', 1, 0, соответствующие их семантич. истолкованию, при­мут в таком случае в точности тот же вид, какой имеют соответственно таблицы для формул (u&v), (u\/v), 1 и при истолковании и и у как формул логики выска­зываний, «единицы» и «нуля» как «истины» и «лжи». Аналогично таблица возможных значений элементар­ной формулы (uC.v) будет иметь тот же вид, что и таб­лица для импликации (uZDv) в логике высказываний; таблица для формулы (и=и) — тот же вид, что и таб­лица для эквивалентности (u = v).

Поэтому если мы заменим в Ф, формуле Л. к., все элементарные формулы соответствующими им формула­ми логики высказываний (т. е. все знаки f\, |J, C,',= на &,VO, *!,= соответственно), то получим формулу Ф* логики высказываний, равнозначную (в смысле ис­тинности или ложности) формуле Ф, когда последняя рассматривается в одноэлементной области. При этом оказывается (см. D. Hilbert und W. Ackermarm, Grund-zuge der theoretischen Logik, 1959, S. 51—56), что если (I) Ф — элементарная формула Л. к., то вопрос о ее тождественно-истинности в Л. к. сводится к вопросу о тождественно-истинности в логике высказываний формулы Ф*. [Так, вопрос о тождественно-истинности в Л.к. формулы ((ap\b)(Zla) сводится к вопросу о тож­дественно-истинности в логике высказываний формулы ((a&b)Z)a). Аналогично обстоит дело для формул (в к-рых, согласно обычным соглашениям, скобки можно опустить) видов: (II) ~] SI и вообще (III) (nSl,V~12l2V--Vn2l_n), (IV) (IIVS) и, более общо, (V) (1 a,V--V "I 2W»). где Ш, &!, а₂,..., 3l_n,S3 - эле­ментарные формулы. И только в случае формулы вида

(vi) o»,v...vi«mVa₁va.V--Va_n),(n>2, m>0),

где все 2I_lv.., 2t_n, *Вц..., ЙЗ_т— элементарные формулы, вопрос о ее общезначимости в Л. к. не сводится к во­просу об общезначимости в логике высказываний со­ответствующей формулы Ф*, а решается путем сведе­ния к вопросу об общезначимости хотя бы одной из п

формул: (l^V-VlSmW!),.., 0*lV...Vl*mVa_B),

т. е. к случаю (V). Поскольку всякую формулу Л. к. можно привести (относительно ее элементарных фор­мул) к конъюнктивной нормальной форме, члены к-рой всегда имеют один из видов (I)—(VI), то вопрос об общезначимости формулы Л. к. действительно сво­дится к вопросу об общезначимости нек-рых формул логики высказываний, т. е.решается алгоритмически (см. Алгоритм)}.

Всякому модусу силлогистики Аристотеля, если З^и 21₂ —посылки, S3 —заключение, соответствует фор­мула Л. к.: ((2Ij &21₂)^33), к-рая для всех модусов, за исключением darapti, felapton, bamalip и fesapo, ока­зывается тождественно-истинной в Л. к. Последние 4 модуса неверны в Л. к. потому, что в ней допускают­ся пустые классы, к-рых нет у Аристотеля. Однако если ввести соответствующую оговорку, т. е. добавить к числу посылок нужное допущение непустоты нек-рого класса, то и эти модусы дают правильное заключе­ние в Л. к. (На «языке» Л. к. можно выразить непусто­ту класса а, сказав, что «Нек-рые а суть а», т. е. что «Неверно, что все а сутьне-а»: ~](ао*'). Если бы а был пустой класс, то было бы верно, в частности, что «Все а суть не-а»).

Исторически—в трудах Лейбница, Иоганна и Дании­ла Бернулли (конец 17 — нач. 18 вв.), Буля, Джевонса, Шредера, Пирса, Порецкого, Дж. Венна и др. (2-я

226 ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ

пол. 19 в.) — Л. к. возникла и развивалась в резуль­тате попыток свести решение логич. задач силлоги­стики Аристотеля к решению нек-рых задач арифме­тики, алгебры или геометрии. Именно для целей Л. к. была построена алгебра Буля (1854), сыгравшая су­ществ, роль в развитии совр. абстрактной алгебры. Именно в применении к Л. к. появились первые при­емы наглядного геометрич. решения задач логики: «круги» Эйлера и диаграммы Венна. Проблема разре­шения для логики классов была решена впервые — на основании подготовивших ее решение работ Э. Шре­дера (1890—95) —Лёвенхеймом (1915). Более силь­ные результаты, относящиеся к расширенной Л. к. (допускающей и классы классов) или к эквивалентным ей логич. исчислениям, были получены в дальнейшем Т. Сколемом (1919), нем. математиком Г. Беманом (1922), Жегалкиным (1928—29) и др. Очень простые и остроумные решения предложены нем. ученым

B. Аккерманом.и—для формализованной силлоги­
стики Аристотеля —■ Лукасееичем.

В наст, время Л. к. редко излагается уже как особый раздел совр. (математической ) логики, поскольку ее задачи полностью решаются в логике предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов); силлогистика же Аристотеля находит лучшее выраже­ние в специально посвященном ее формализации исчи­слении Лукасевича.

Будучи таким усилением исчисления высказываний, в к-ром осн. логич. задачи остаются еще алгоритми­чески разрешимыми, Л. к. находит широкие примене­ния в технике, прежде всего к синтезу машин, модели­рующих нек-рые операции человеческого мышления.

Лит.: Кутюра Л., Алгебра логики, пер. с франц., О., 1909; Ж е г а л к и н И. И., Арифметизация символич. логики, Матем. сб., т. 35, вып. 3—4, 1928; т. 36, вып. 3—4, 1929; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоре-тич. логики, пер. с нем., М., 1947; гл. 2 и значительно усо­вершенствованное 4 нем. изд., Берлин, 1959, гл. 2; Б и р к-г о ф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; К л и н и

C, Введение в метаматематику,М., 1957 (содержит подробную
библиографию, в к-рой, в частности, имеются данные об
упомянутых в тексте работах Бемана, Буля, Лёвенхейма,
Сколема, Шредера); Лукасевич Я., Аристотелевская
силлогистика с точки зрения совр. формальной логики,
пер. с англ., М., 1959; Беркли Э., Символическая логика
и разумные машины, М., 1961; Ackermann W., Sol­
vable cases of the decision problem, Amst., 1954, ch. 3—4.

С. Яновская. Москва.

ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ— одно из направ­лений логики, занимающихся ее основаниями, т. е. такими осн. понятиями и методами, к-рые при построе­нии формальных логич. систем или исчислений предпо­лагаются обычно не нуждающимися в пояснениях (со­держательно понятными) и не анализируются. Особое внимание уделяется при этом понятиям переменной, функции, множества, различению типов переменных (предметные, предикатные, пропозициональные и др.), правилу подстановки, логич. антиномиям.

В системах математической логики (призванных фор­мализовать логич. выводы) правила вывода, хотя и формулируются содержательно, но, по идее, должны быть вполне доступны для одноактного автоматам, выполнения. Нек-рые из них, вроде известного modus ponens, позволяющего из выведенных уже формул А и {А^)В) вывести формулу В, представляются непо­средственно удовлетворяющими этому требованию. В др. случаях, прежде всего для правила подстановки (особенно на место предикатных переменных), форму­лировка правила настолько сложна (требует введе­ния ряда новых терминов, проверки выполнения или невыполнения трудно формулируемых условий), что даже квалифицированному специалисту бывает не­легко решить вопрос о ее корректности. Выполнить такое правило поэтому во многих случаях отнюдь не просто. В Л. к. правило подстановки сводится к це­почке правил, не более сложных, чем modus ponens. Анализ выявляет трудности и в др. упомянутых выше

понятиях, формализацией (или устранением) к-рых и занимается Л. к.

История Л. к. начинается с труда сов. математика М. И. Шейнфинкеля «О кирпичах матем. логики» [(М. Schonfinkel, Ober die Bausteine der mathema-tischen Logik, «Math. Ann.», 1924, Bd 92); краткое пояс­нение смысла исходных функций Шейнфинкеля имеет­ся в статье С. А. Яновской «Основания математики и математическая логика» (см. сб. «Математика в СССР за тридцать лет 1917—1947», 1948, с. 31—33)], поло­жившего в основу логики нек-рые три индивидуаль­ные функции С, S, U (рассматриваемые как особые предметы, отличные от значений функций) и одну операцию: приложения функции к аргументу (к-рым может быть и функция), обозначаемую только тем, что знак аргумента ставится непосредственно за знаком функции. Функции от п аргументов («-мест­ные функции) сводятся Шейнфинкелем к функци­ям от одного аргумента (к одноместным функ­циям). Задание же последних не предполагает у него (в отличие от того, как это принято в т. н. классич. математике) предварит, задания множеств значений аргументов и значений функции. Понятие функции оказывается, т. о., независимым от понятия множе­ства, с к-рым связаны большие трудности (см. Па­радокс). Шейнфинкель полагал, что введенных им функций С, S, U достаточно для представления лю­бых выражений математич. логики (в т. ч. и содер­жащих кванторы «все» и «существует») в виде слов в алфавите, состоящем только из трех латинских букв С, S, U и скобок. Выражения логики должны были сводиться, т. о., к комбинациям (с повторениями) из букв С, S, U (и скобок), откуда и название «Л. к.» (предложенное в 1930 X. Кёрри). Употребление же переменных должно было быть вообще исключено из логики.

Чтобы показать на простом примере, как это делается, рассмотрим комбинатор А такой, что Аху=х+у, и комби­натор С такой, что Cfxy=fyx; [приложение комбинатора А к аргументам х, у дает х+у; приложение комбинатора С к f(x, у) дает f(y, х)—в более обычных обозначениях]. Сум­му у +х в таком случае можно выразить как САху. Тож­дество х+у = у+х выражается при этом в виде Аху—САху. И если (как это делается обычно в математике) трактовать тождественное равенство / (ж,,..., x_n)=g(x,..., х_п) как дру­гое выражение для того, что f=g (т. е. считать, что функ­ции fag, относящие обе одни и те же объекты к одним и тем же значениям аргументов, отождествляются нами), то другим выражением для тождества х-\-у=у-\-х будет А = СА — формула, не содержащая переменных.

Как показало дальнейшее развитие идей Шейнфин­келя, их осуществление — в применении к той части Л. к., к-рая призвана была заменить уже и опери­рование с кванторами,— оказалось отнюдь не столь простым, как это представлялось их автору, и потре­бовало дальнейших исследований. Среди последних выделяются прежде всего работы Кёрри.

Первые работы Кёрри по Л. к. появились в 1929—30. В них он пользовался системой исходных функций («комбинаторов»), отличной от введенной Шейнфинкелем, а также разработал технику вывода для Л. к., к-рой не было у Шейнфинкеля. Непротиво­речивость той части системы Л. к., в к-рой еще нет аналога для кванторов (т. н. «чистой» Л. к.), также была доказана в этих работах Кёрри. В это же время Чёрчем было разработано его исчисление Х-конвер-сии, в к-ром были получены первые в истории науки доказательства неразрешимости нек-рых массовых проблем (см. Алгоритм, Разрешения проблемы). В диссертации «Математическая логика без перемен­ных» (J. В. Rosser, A mathematical logic without vari­ables, 1935) амер. математик Россер показал эквива­лентность Л. к. и исчисления ^-конверсии. В том же 1935 К лини и Россер обнаружили противоречие в первоначальной системе Чёрча, к-рое, т. о., ока­залось имеющим место и в применении к Л. к.: не

ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ 227

к «чистой», а к «заключительной» (illative), вклю­чающей импликацию и аналоги для кванторов. Чтобы избежать этого противоречия, «заключитель­ную» Л. к. приходится строить либо как некласси­ческую, либо как содержащую предметы разных (не сводимых друг к другу) категорий (что и было сделано Кёрри). В логику приходится, т. о., включать нек-рые сведения о предметах (о существовании разных кате­горий предметов и, следовательно, о нек-рых специфич. свойствах их), к-рые естественно относить уже к обла­сти онтологии или еще более конкретных наук, изучающих специфицированные предметы. В развитии Л. к., т. о., полностью подтверждаются принципы, ясные с т. зр. материалистич. диалектики: о неотдели­мости логики от онтологии, о роли противоречия в раз­витии науки, о способах «снятия» противоречия с по­мощью большей конкретизации исследуемых пред­метов и др

Поскольку в Л. к. исходным является понятие фун­кции, а не множества, естественно, встает задача построить теорию множеств, исходя из Л. к. Такие попытки предприняли Кёрри в 1934 (опубликовано только резюме его работы) и Коген (1955), в работе к-рого (она посвящена обоснованию средствами Л. к системы аксиом Гёделя для теории множеств) нем. математик Титгемейер обнаружил, однако, противо­речие, свидетельствующее о том, что попытка Когена не удалась. В 1952 Кёрри предложил использовать Л. к. при составлении программ для вычислит, машин. Лит.: Curry H., An analysis of logical substitution, «Amer. J. Math.», 1929, v. 51, p. 363—84; его же, Grundlagen der kombinatorischen Logik, там же, 1930, v. 52, p. 509—36; 789—834; его же, Foundations of the theory of abstract sets from the standpoint of combinatory logic, «Bull. Amer. Math. Soc.», 1934, v. 40, № 9, p. 654; e г о ж е, The logic of program composition, в кн.: Applications scien-tifiques de la logique mathematique. Actes du 2-е colloque international de logique mathematique, Paris, 22—30 a6ut (952, P.—Louvain, 1954, p. 97—102; К 1 e e n e S. С and Bosser J. В., The inconsistency of certain formal logics, «Annales Mathem.», 1935, v. 36, ser. 2, p. 630—36; Cogan E. J., A formalization of the theory of sets from the point of view of combinatory logic, «Z. math. Logik und Grundlagen Math.», 1955, Bd 1, H. 3, S. 198—240; Gur­ry H. and F e у s R., Combinatory logic, v. 1, Amst., 1958 (имеется библиогр.); Titgemeyer R., Cber einen Widerspruch in Cogans Darstellung der Mengenlehre, «Z, math. Logik und Grundl. Math.», 1961, Bd 7, H. 3.

__ С. Яновская. Москва.

ЛОГИКА ОТНОШЕНИИ— 1) Один из разделов совр. логики, представляющий собой теорию отно­шений. В этом смысле термин «Л. о.» употребляет, напр., Э. Шредер («Лекции по алгебре логики» — Е. Schroder, Vorlesungen uber die Algebra der Logik, Bd 3, 1895); в «Principia mathematica» Уайтхеда и Рассела (А. N. Whitehead and B. Russel, Principia mathematica, v. 1, 1910, § 21) им обозначена более узкая область — именно та часть теории отношений, в к-рой исследуются общие свойства отношений, не имеющие аналогов в теории классов.

2) Особое направление в логике и ее филос. истол­ковании, отличающееся специфич. пониманием осн. форм мышления (понятий, суждений, умозаключе­нии). Возникло во 2-й пол. 19 в. в связи с развитием теории отношений и выявлением важной роли отно­шений, суждений с отношениями и умозаключений об отношениях в науч. познании. Развитие Л. о. происходило гл. обр. на базе неокантианства позд­него периода, особенно его франц. разновидности — неокритицизма (Лашелъе, Виндельбанд, Кассирер, III. Серрюс и др.). В России видным представителем Л. о. был Поварнин, стремившийся развивать идеи Л. о. вне связи с к.-л. определенной философской концепцией.

Специфика взглядов представителей Л. о. заклю­чена прежде всего в понимании суждения. В отличие от традиц. логики, в к-рой все простые суждения понимались как утверждения или отрицания свой-

ства у предмета и сводились т. о. к схеме «S есть Р», в Л. о. все суждения истолковывались как суждения об отношениях и сводились к схеме a R Ь (в к-рой R— нек-рое двучленное отношение, а а и Ъ — обозначения двух к.-л. предметов). В соответствии с таким пони­манием представители Л. о. трактовали умозаклю­чения как перестановки терминов в суждениях (напр.: «линия а параллельна Ъ, следовательно, Ь парал­лельна а»), переносы отношений с одних предметов на другие (напр.: «а больше Ь, Ь больше с, следо­вательно, а больше с») и т. д. на основе формальных свойств (симметричность, транзитивность и др.) соот­ветствующих отношений. Высказывания, в к-рых выражаются эти свойства, рассматривались как логич. принципы, подобные, напр., аксиоме силлогизма. (Начало такому истолкованию суждений и умозаклю­чений положил О. до Морган, явившийся также од­ним из основоположников теории отношений в мате-матич. логике). Т. о., предполагалось, что с каждым отношением должен быть связан свой принцип умо­заключения, что крайне затрудняло построение об­щей теории умозаключений. Больше того, на пути Л. о. вообще было невозможно охватить все формы логич. выводов, т. к. схема а Л 6 не представляет даже всех суждений с двучленными отношениями (охватывая лишь единичные суждения с этими отно­шениями; для выражения суждений с двучленными отношениями в других, более сложных, случаях нужны кванторы), не говоря уже о суждениях с мно­го (трех-, четырех- и т. д.) членными отношениями. Естественно, что развитие теории умозаключений и суждений пошло по др. пути, именно по пути, определенному математич. логикой, в к-рой учиты­вается наличие многоместных отношений и различие между свойствами и отношениями, а в качестве осно­ваний умозаключений выделяются и исследуются логические отношения (наиболее общие отно­шения, определяющие логич. формы мысли), все же др. отношения относятся к содержанию мысли, причем высказывания, выражающие свойства этих отношений, рассматриваются как посылки умо­заключений. Поскольку в Л. о. не проводилось раз­личение логич. и внелогич. отношений по их роли в мышлении, в ней игнорировалось различие между логич. формой и содержанием мысли. На этом именно основано неправильное представление атрибутивных суждений вида «S есть Р» как суждений об отношениях (заметим, что о наличии логич. отношений, напр. отношения принадлежности свойства предмету, в та­ких суждениях знала уже традиц. логика, но не относила их к содержанию суждения); не случайно поэтому, что такое представление оказывается обычно весьма искусственным (напр., Поварнин представлял суждение «кошка лежит» как говорящее об отно­шении между кошкой и состоянием лежания).

Характерное для Л. о. истолкование суждений приобрело у неокантианских представителей этого направления явно выраженный субъективно-идеали-стич. характер; оно было обусловлено их стремлением «очистить» логику от «метафизики» (выражающейся в признании существования вещей вне человеч. созна­ния) и от «субстанциализма», к-рые вносятся в нее, как они утверждали, аристотелевским (традицион­ным) пониманием суждения. Преимущество схемы aRb, с их т. зр., в том, что она облегчает трактовку суждений как актов синтеза представлений, в к-рых, согласно их взглядам, происходит формирование пред­метов окружающего мира. Так, Серрюс видел осн. смысл Л. о. в том, что она отказывается от понима­ния суждений как отнесений предикатов к бытию (см. «Опыт исследования значения логики», М., 1948, с. 124). Кассирер пытался создать теорию понятия в духе Л. о., согласно к-рой понятия и предметы

228 ЛОГИКИ-СОФИСТЫ - ЛОГИЦИЗМ

действительности возникают на основе развиваемых мышлением отношений.

Развитие науки, в особенности в последние деся­тилетия, убедительно показало несостоятельность как философских, так и собственно логич. предпосылок Л. о. В частности, развитие символич. логики опро­вергло характерное для Л. о. понимание суждений и др. форм мысли; оно продемонстрировало, что при построении любой логич. системы, претендующей на формализацию определ. областей знания и спосо­бов рассуждений людей, всегда предполагается суще­ствование нек-рой предметной области, к объектам к-рой относятся формулируемые в этой системе истин­ные высказывания.

Лит.: Риккерт Г., Границы естественно-научного образования понятий, пер. с нем., СПБ, 1903; В и н д е л ь-б а н д В., Прелюдии, пер. с нем., СПБ, 1904; его же, Принципы логики, пер. с нем., М., 1913; КассирерЭ., Познание и действительность, пер. с нем., СПБ, 1912; П о-в а р н и н С. И., Логика. Общее учение о доказательстве, П., 1915; его ж е, Логика отношений, П., 1917; Т а в а-н е ц П. В., О структуре суждения в атрибутивной логике и в логике отношений, «Изв. АН СССР. Серия истории и философии», 1946, т. 3, № 6; е г о ж е, Об идеалистиче­ской критике аристотелевской теории суждения, там же, т. 6, 1947, М4; его же, Суждение и его виды, М., 1953, гл. 11, § 3; В о й ш в и л л о Е. К., Критика логики отноше­ний как релятивистского направления в логике, в кн.: Философские записки, т. 6, М., 1953; его ж е, Об одной логической концепции, «Вопр. философии», 1957, № 6; Lachelier J., Etudes sur le sillogisme, P., 1907; S err us C-, Le parallelisme logico-grammatical, P., 1933.

E. Войшвилло. Москва.

ЛОГИКИ-СОФЙСТЫ— последователи древ'некит. филос. направления минцзя (школы имен) (5—2 вв. до н. э.). Наибольшей известностью пользуются Гун-сунъ Лун и Хуэй Ши — представители двух противо­положных течений этой школы. Менее известны др. Л.-с: Дэн Си, Инь Вэнь, Мао Гун, Чэнгун Шэн и Хуан-гун. Учение представителей этой школы сво­дилось гл. обр. к логич. рассуждениям о соотношении между именем (названием вещи) и содержанием (сущ­ностью вещи). Теория Л.-с. о сущности вещей и их названиях сводится к доказательству и разработке идеи о том, что все в окружающем мире зависит от названия. Л.-с. утверждали, что все неурядицы в жизни происходят от того, что название не всегда соответствует содержанию вещи или понятия. Доста­точно привести их в соответствие, как в жизни начнет царить гармония (учение об исправлении имен). Примерно такие же рассуждения можно встретить в конфуцианстве. При помощи схоластич. рассужде­ний о названиях, игнорируя подлинную сущность законов объективного мира, Л.-с. доказывали, что «истинное все же не истинно». Они пришли к утверж­дению отдельного и независимого существования аб­стракций.

ЛОГИСТИКА(от греч. Хорзихт) — искусство вычислять, рассуждать). У древних греков Л. наз. искусство вычислений и геометрич. измерений, т. е. практич. арифметика, противопоставлявшаяся тео-ретич. математике. В этом значении этот термин употреблялся в Зап. Европе вплоть до 17 в. Но уже Лейбниц пользовался словом logistica (так же как и термином logica mathematica) как синонимом для calculus ratiocinator (исчисления умозаключений), идею к-рого он выдвинул. В 1904 на Международном филос. конгрессе в Женеве этот термин был предло­жен (независимо Ительсоном, Лаландом и Кутюра) для обозначения математической логики; в наст, время чаще всего употребляется именно в этом смыс­ле. В лит-ре встречается, однако, и иное его употреб­ление: как название того этапа в логике, к-рый пред­ставлен логич. работами Рассела и его школы или связанного с этими же работами направления в фило­софии математики, к-рое иначе наз. логицизмом.

От «Л.» как названия математич. логики образо­ван ряд важных терминов, употребляемых в логич.

и филос. лит-ре. Так, характерный для математич. логики способ формализации посредством построения формализованных языков часто наз. логистиче­ским методом; чисто формальную часть фор­мализованного языка (т. е. неинтерпретированное ис­числение) наз. логистической системой (а также формальной системой).

Лит.: Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, [т.] 1, пер. с англ.,М., 1960, с. 48—60, 373—378; Ноль-м а н Э. Я., История математики в древности, М., 1961, с. 73—74; «Revue de Metaphysique et de Morale», v. 12, 1904; The dictionary of philosophy, ed. D. Runes, 4 ed. N. Y., 1942.

ЛОГИЦИЗМ— направление в области филос. проб­лем математики, пытающееся обосновать математику путем сведения ее к логике, т. е. путем определения ее «неопределяемых» (исходных) понятий в терминах логики, формулировки всех вообще ее предложений на «языке» математической логики и доказательства их (в т.ч. и аксиом) по правилам этой же логики.

Предшественником Л. считается обычно Лейбниц, основателем Л. является Фреге, предпринявший по­пытку построить арифметику натуральных чисел как систему предложений, выводимых по правилам логи­ки из сформулированных им (в терминах логики) определений натуральных чисел и операций с ними.

Поскольку в это время уже было осуществлено све­дение геометрии к алгебре (аналитич. геометрия) и анализу (дифференциальная геометрия), математи­ческий же анализ удалось арифметизировать (путем теоретико-множеств. сведения действит. чисел к мно­жествам множеств и т. д. натуральных чисел), то от осуществленного Фреге сведения натуральных чисел к объемам понятий уже, казалось, было неда­леко к сведению всей вообще математики к глубоко и тонко разработанной Фреге, хотя и очень громозд­кой, системе логики.

Однако в системе Фреге Расселом было обнаружено противоречие, известное под названием «парадокса Рассела» (см. Парадоксы), побудившее Рассела пред­принять новую попытку свести «чистую» математику к «чистой» логике, использовав осн. идею Фреге и вве­денную Пеано удачную математич. символику. Эта попытка, сделавшая Рассела осн. представителем Л., была осуществлена им вместе с Уайтхедом в боль­шом, трёхтомном, и все же незаконченном труде «Principia Mathematica» (1910—13), сыгравшем важ­ную роль в дальнейшей истории математич. логики и оснований математики. В ходе жарких дискуссий, к-рыми было встречено появление этой работы (наи­более резкой, хотя и отнюдь не справедливой, была критика Л. со стороны Пуанкаре), были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что классич. «чистая» матема­тика вообще не может быть сведена к логике, трак­туемой, как этого хотел Рассел, как система тавто­логий, истинных a priori (или, по Лейбницу, верных вообще во всех «возможных мирах», и потому ничего не говорящих нам о мире, в к-ром мы живем и дей­ствуем). Действительно, именно в применении к Prin­cipia Mathematica и родственным ей системам были доказаны Гёделем (1931) его осн. теоремы о их прин­ципиальной неполноте (т. е. о невозможности вывести ни в одной из них все содержательно истинные пред­ложения математики) и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Эти теоремы,— а /акже доказанная вскоре (1936) Чёрчем неразрешть мость разрешения проблемы в системах типа Principia Mathematica — равно как и обнаруженная самим Рас­селом невозможность доказать, не обращаясь к естест­вознанию, необходимую ему аксиому о бесконечности множества вещей в мире или логически обосновать т. н. аксиому сводимости, к-рую Рассел вводил

ЛОГИЦИЗМ 229

с целью избежать нарушений «принципа пороч­ного круга» в определениях понятий в его си­стеме, не выбрасывая из нее ряда осн. теорем клас-сич. математики,— показали неосуществимость по­пыток обосновать классич. (теоретико-множествен­ную) математику, трактуя ее как логику, строящую­ся a priori, т. е. по существу идеалистически.

Большинство позднейших последователей Л. пы­тается исправить недостатки системы Рассела с по­мощью т. н. «конструктивного номинализма>> (см. Номинализм), трактующего множества (объемы по­нятий) не как особые абстрактные сущности или единичные «идеальные объекты», обладающие само­стоят, существованием наряду с вещами, из свойств к-рых они, согласно особому «принципу абстракции», были извлечены, а лишь как коллективы, состоящие из отдельных (изолированных друг от друга) кон­кретных вещей. Такого рода системы были разрабо­таны или намечены, напр., Лесьневским и его уче­никами, а также амер. логиками Куайном, Гудменом, . Мартином, Вуджером, Генкиным и др. Сам Рассел в дальнейшем также пытался искать выход из обна­руженных им трудностей, интерпретируя свою си­стему в духе, отличном от его первоначальных наме­рений; но, перейдя на позиции, гораздо более близ­кие к т. зр. Венского кружка неопозитивистов, не слу­чайно не нашел при этом выхода из трудностей, с к-рыми встретился. [О первоначальных идеях Рас­села, направленных против трактовки математич. объектов и истин как произвольных творений нашего разума, хорошо говорят, напр., следующие слова из его статьи «Recent work in the philosophy of mathe­matics» (1901): «Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но есть только мнение и частное суждение; что каждый из нас обусловлен, в своей точке зрения на мир, его личными особенностями, личным вкусом и склонностями; что нет внешнего царства истины, к которому с помощью терпения и дисциплины, мы можем, наконец, получить доступ, но есть только истина для меня, для тебя, для каж­дой отдельной личности. Людьми этого склада ума отрицается одна из главных целей человеческих уси­лий, и высшее достоинство беспристрастия, бесстраш­ного познания того, что есть, ускользает от нашего морального взора. По отношению к такому скепти­цизму математика является неизменным укором, ибо ее здание истин стоит непоколебимо и неприступно ни для какого оружия сомневающегося цинизма» («Mysticism and Logic», 1917, p. 71)].

Поиск по сайту: