Развитие диалектического материализма. 9 страница

ЛОГИКА —ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ205

ду Л. и психологией, анализу логич. правильности методов мышления и систематич. исследованию явле­ний т. н. нелогичности, истории Л. Одной из осн. задач ежегодника является также публикация иссле­дований о применении Л. и логич. средств к анализу понятий в естеств. и обществ, науках, к теории авто-матич. устройств. Как правило, все статьи публику­ются на Вольском яз. с обязательным резюме на одном из четырех языков: рус, англ., франц. и нем. 4) «Logique et Analyse». Основан в 1958 в Брюсселе и является продолжением основанного в 1950 бюлле­теня, издаваемого бельгийским национальным цент­ром логич. исследований. Выходит 3 раза в год (ян­варь, апрель, август). Освещаются проблемы общей Л., связь Л. с философией, специальные проблемы ма­тематич. Л., а также логич. проблемы в области права и языкознания. Журнал преим. неопозитивистского толка. Фактически является международным журна­лом, публикует статьи на франц. (преимущественно), англ. и нем. яз. 5) «Methodos». Основан в 1949 при Миланском ун-те. Выходит 4 раза в год. До 1960 носил подзаголовок «Rivista trimestrale di meto-dologia e di logica simbolica» и распадался по содержанию на две секции: секция по методологии, руководимая итальянским центром методологии и анализа языка (при Миланском ун-те), и секция сим-волич. Л. С 1960 журнал несколько изменил свою тематику, носит подзаголовок «Linguaggio e ciber-netica» и издается центром по кибернетике и линг-вистич. деятельности при Миланском ун-те, группой по автоматизации науч. информации при Евратоме и итал. операционной школой. Наряду со специальными статьями по кибернетике, программированию и линг­вистике журнал по-прежнему большое внимание уде­ляет проблемам общей и математич. Л., связи Л. с философией, психологией и лингвистикой, логич. проблемам кибернетики, теории информации, инфор­мационно-поисковых систем и техники программи­рования. Предоставляет возможность печататься ав­торам самых различных филос. направлений (от неотомистов типа Ю. Бохеньского до теоретиков гене­тической эпистемологии типа Ж. Пиаже). Статьи в основном печатаются на итал. и англ. яз. Факти­чески является международным.

Вторую группу составляют журналы по матема­тич. Л.: 1) Осн. международным журналом по мате­матич. Л. является «Journal of Symbolic Logic». Основан в 1936. Выходит 4 раза в год. Является офиц. органом ассоциации символич. Л. — международной организации математич. логиков. Журнал поддер­живается ЮНЕСКО и секцией Л., методологии и философии науки при международном объединении истории и философии науки (сокр. ICSU). В нем со­трудничают почти все крупнейшие зарубежные логики и математики. Журнал является фактически единств, полным специальным библиографич. указателем по Л. (как общей, так и формальной). В четвертых номерах первого (1936, р. 121—218) и третьего (1938, р. 178—212) томов помещена широко известная «Библиография математич. логики», составленная А. Чёрчем. В ней дается свод всей лит-ры по мате­матич. Л. со времени зарождения этой науки (т. е. с 1666 — года опубликования работы Лейбница «Dis-sertatio de arte combinatoria») до 1935 включительно. С 1935 в разделе «Рецензии» («Reviews») реферируются все логич. работы (включая и выходящие в СССР). Каждые 4 года в последнем номере журнала дается именной и предметный указатель всех прорефериро­ванных работ, так что в журнале можно найти ука­зания почти на все работы, появившиеся в мировой логич. литературе. 2) «Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik». Основан в 1955в Берлине (ГДР). Выходит 4 раза в год. Изда-

ется Ин-том математич. Л. им. Гумбольдта. Между­народный журнал; публикует статьи на рус, нем., англ. и франц. яз. по проблемам математич. Л. и оснований математики, а также освещает резуль­таты смежных с ними областей. При этом особое внимание уделяется применению математич. Л. и теории рекурсивных функций к проблемам построе­ния вычислительных машин, алгебры переклю­чений и техники программирования. Публикуются статьи преимущественно математич. характера. В жур­нале активное участие принимают советские матема­тики и математич. логики (Марков, Шанин, Успен­ский, Кабаков и др.). 3) «Archiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung». Основан в 1950 в г. Штутгарте (ФРГ). Задуман как квартальный журнал, но выходит крайне нерегулярно.

Осн. внимание уделяется сугубо «техническим» проблемам математич. Л. и проблемам оснонаний математики. Фактически является международным журналом; публикует статьи на нем., англ. и франц. языках.

•Кроме вышеперечисленных, логич. проблематике
уделяют место почти все крупные междуна родные
и нац. филос. журналы (см. раздел о журналах в ст.
Философия). И. Добронравов. Москпа.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИИ— раздел совр. (ма­тематической) логики, посвященный изучению ло­гич. форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, ана­логичных союзам «и», «или», «если..., то», «если..., и только если», отрицания («не») и др. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, т. е. не расчленяются на части (такие, напр., как субъект и предикат).

Задачей Л. в., называемой также логикой предло­жений или пропозициональной логикой (а иногда также исчислением высказываний, исчислением пред­ложений, пропозициональным исчислением), является прежде всего такое уточнение понятия формы слож­ного высказывания, к-рое позволяет уточнить и пра­вила логич. оперирования с высказываниями, выра­зимыми в этой форме; так уточнить, чтобы для послед­них стало возможным алгоритмическое (см. Алго­ритм) решение вопросов логич. характера, для к-рых люди давно искали общие — и притом автоматиче­ские — методы решения. К числу таких вопросов относятся прежде всего вопросы, связанные с выводом логич. следствий из данных посылок (напр., теорем в данной системе аксиом) или с поиском доказатель­ства предложений, выразимых в этой уточненной форме. Примерами вопросов этого рода являются не только вопросы, относящиеся к проверке того, следует ли данное утверждение из данных посылок, но и во­просы о том, какие вообще логич. следствия данного вида могут быть выведены из данных посылок; каковы все те различные гипотезы (определ. вида), из к-рых может быть выведено данное заключение; можно ли упростить (в том или ином смысле) форму выражения данного высказывания, и мн. др.

Л. в. есть та — элементарная — часть математич. логики, для к-роп такие задачи являются разреши­мыми (см. Разрешения проблемы), и поэтому именно она особенно часто находит разнообразные технич. применения в совр. автоматостроении, в т. ч. и при построении (имитирующих работу нервных сетей мозга) надежных схем из не вполне надежных элемен­тов, к-рым занимается новая наука — бионика; именно к Л. в. обычно производится (непосредственно или опосредованно) сведение аналогичных вышепри­веденным проблем из более сложных частей логики в тех случаях, когда они допускают алгоритмич. ре­шение. Несмотря на ее элементарный характер, Л. в. играет поэтому важную роль в совр. логике.

206 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Задача уточнения формы сложных высказываний и правил логич. вывода (рассуждения) может решаться в Л. в. по-разному, прежде всего в зависимости от того, имеем ли мы дело с т. н. «классической» или же с кон­структивной Л. в. Однако и в самих классич. и кон­структивной Л. в. имеются различные решения про­блемы такого уточнения, хотя часто (в том или ином смысле) равносильные между собой.

Понятие формы сложного высказывания уточняет­ся с помощью понятия формулы Л. в., введе­ние к-рого осуществляется посредством построения нек-рого «языка» для Л. в., состоящего из алфавита «букв» этого «языка» и правил написания «слов» (формул) в этом алфавите.

Алфавит может выбираться при этом по-разному, но он обычно содержит, во-первых, «буквы», называемые «пропо­зициональными переменными» (число к-рых предполагается неограниченным); далее, в алфавит должны входить «бук­вы», являющиеся знаками для логич. связок, таких, напр., как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание; большинство алфавитов Л. в. содержит, кроме того, вспомо-гат. знаки: чаще всего скобки или точки. В алфавит вводят­ся иногда и знаки для постоянных: «истины» и «лжи» (1,0, или 2,0, или др.). Понятие формулы Л. в. легче всего опре­деляется для алфавитов, в состав к-рых входят и скобки. Так, если алфавит состоит из пропозициональных перемен­ных, знаков конъюнкции (&), дизъюнкции (V), импликации (zj), отрицания ("]) и скобок, то понятие формулы можно определить так: (1) Всякая пропозициональная перемен­ная есть формула; (2) Если А и В — формулы, то (Л & В), (AV-B), (АгэВ) — формулы; если А есть формула, то ~| А— тоже формула. Употребителен, однако, и бесскобочный алфавит Лукасевича или алфавиты, в к-рых роль скобок выполняют точки (и группы точек). Существенно только, чтобы понятие формулы было «разрешимым», т. е. чтобы для всякого «слова» в данном алфавите можно было эффек­тивно ответить «да » или «нет» на вопрос о том, является ли оно формулой Л. в. или нет, и к тому же ответить так, чтобы при положит, ответе однозначно восстанавливалась вся последовательность шагов построения формулы начиная с ее элементарных составляющих. Так, «слова»: (p=)(gz>r)) и ((pZ3g)=)r) (где р, q, r ~ пропозициональные переменные), согласно приведенному выше определению формулы, явля­ются формулами, и последовательность шагов их построе­ния может быть изображена следующими «деревьями»:

«Слово» же (ргз qZDr) не есть формула: без дополнит, соглаше­ний, позволяющих в точно определ. случаях опускать скоб­ки, неизвестно, какие именно формулы связываются здесь знаками импликации; «дерево» поэтому нельзя построить.

Выбор алфавита для «языка» Л. в. определяется тем, что именно на этом «языке» должно стать выразимым (и притом в достаточно точной форме), т. е. опреде­ляется семантикой этого «языка». В классич. Л. в. этой семантикой являются правила, позволяющие установить истинность (соответственно, ложность) сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности входящих в него элементарных высказы­ваний. В соответствии с этим связки классич. Л. в. толкуются как функции от нек-рого числа аргументов, такие, что как сама функция, так и ее аргументы мо­гут принимать одно и только одно из двух различных значений (соответствующих «истине» и «лжи»). Чтобы сделать выразимыми на «языке» Л. в. все такие функ­ции, оказывается достаточным выбрать в качестве исходных связок лишь нек-рое — небольшое — их число: достаточно, напр., одних только конъюнкции и отрицания (соответственно, одних только дизъюнк­ции и отрицания), одних только импликации и отри­цания или даже одного только «штриха» Шеффера — антиконъюнкции. Наиболее употребительными яв-

ляются «языки»: И О (импликации и отрицания; А. Чёрч), СКЕ (сложения, т. е. строгой дизъюнкции, конъюнкции, единицы, т. е. истины; И. И. Жегалпин),. К ДО (конъюнкции, дизъюнкции, отрицания; Д. Гиль­берт и В. Аккерман), КДИО (конъюнкции, дизъюнк­ции, импликации, отрицания — «полная» Л. в.).

Общие теоремы о необходимых и достаточных усло­виях, для того чтобы данная совокупность связок, выбранных за исходные, обеспечивала полноту функ­циональную пользующегося ими «языка» Л. в., были установлены Э. Постом и (позднее, но в более общих предположениях) сов. учеными С. В. Яблонским и А. В. Кузнецовым.

Семантика конструктивной Л. в., вообще говоря, является более сложной и определяется тем или иным истолкованием всей конструктивной логики вооб­ще (как логики конструктивной математики, имеющей дело только с конструктивными объектами и отвергаю­щей абстракцию актуальной бесконечности, по А. Маркову и Н. А. Шанину; как исчисления задач по А. Н. Колмогорову; как «оперативной логики» или же как «логики спора» по П. Лоренцену; как определе­ния «доказуемости» по К. Гёделю или по лекциям П. С. Новикова; как системы замкнутых подмножеств любого топологич. пространства по Стону и А. Тар-скому; как импликативной алгебраич. структуры но X. Керри и Г. Виркгофу; и др.). Все эти системы, за исключением первой, в которой используется еще «принцип конструктивного подбора» А. Маркова (см. Конструктивное направление), являются точными интерпретациями формальной системы А. Гейтинга для интуиционистской Л. в. Во всех них связки, соответствующие конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции и отрицанию, независимы друг от друга, т. е. ни одна из них не может быть выражена (определена) че­рез другие. Недавно (1963) А. В. Кузнецов построил для конструктивной Л. в. аналоги «штриха» Шеффера.

Еще более разнообразными, чем способы уточнения формы сложного высказывания, являются уточнения логич. правил вывода для Л. в. [напр., классическое и конструктивное секвенций исчисления или близкое к обычным способам рассуждения и специально ориен­тированное на них — классич. натуральное исчисле­ние и его «минимальная» и «конструктивная» модификация; семантические и дедуктивные таблицы голл. математика и логика Э. Бета; семантические и синтаксические схемы вывода нем. математика К. Шютте и др. В ряде этих систем правила вывода устроены так, что они решают одновременно и про­блемы поиска доказательства (соответственно, обна­ружения недоказуемости)].

Несмотря на существование различных способов уточнения правил логич. вывода, выбор последних отнюдь не произволен (как это допускается позити­вистским «принципом терпимости» Карнапа), а дол­жен удовлетворять нек-рым требованиям. Характер* этих требований определяется потребностями науки и техники, т.е. они имеют науч. смысл, когда удовле­творяют материалистич. критерию практики. Прежде всего, правила должны быть таковы, чтобы с их по­мощью из истинных посылок можно было вывести только истинные же заключения. Существенно, да­лее, чтобы заключения при этом логически следовали из посылок не только в том смысле, что могут быть выведены из последних по нек-рым правилам вывода, но — поскольку идет речь о подходящем выборе самих правил вывода—еще и в таком смысле, к-рый является независимым от этого выбора. Для целей классич. Л. в. этому требованию вполне удовлетворяет семан-тич. определение логич. следования, по к-рому заклю­чение 3 логически следует (в смысле Л. в.) из посылок n_lt ..., Л_к, если и только если заменив в П₁, ..., П_к, 3 элементарные высказывания цропозициональ-

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ 207

ными переменными, мы получим формулы Л. в. Р_и..., Р_К,Ф (формы посылок и заключения) такие, что всякий раз, когда функции, выражаемые формулами Р_и ..., Р_к, принимают значение «истина», это же значение принимает и формула Ф. Иными словами, заключение с необходимостью следует из посылок, если неосуще­ствим такой случай, когда все формы посылок прини­мают значение «истина», а форма заключения — зна­чение «ложь».

Другим условием, соблюдение к-рого при выборе правил логич. вывода представляется весьма сущест­венным, является требование полноты выбран­ной системы правил, т. е. возможности вывести, поль­зуясь только ими, любое заключение 3, логически следующее (в семантич. смысле) из к.-н. данных по­сылок. Все вышеупомянутые (классические) исчисле­ния этому требованию удовлетворяют. (Само собой разумеется, что полнота исчисления не равнозначна отрицанию возможности расширять запас допускае­мых им правил логич. вывода, но означает лишь, что всякое новое правило, вводимое в такое исчисление, должно быть допустимым в нем в том смысле, что все, что может быть выведено с его помощью, мо­жет быть получено и без него. Допустимость всякого такого правила всегда нуждается поэтому в спец. обосновании, состоящем в указании способа, позво­ляющего по данному выводу, в котором используется новое правило, построить др. вывод, где это правило уже пе применяется).

Поскольку формула (Р,1Э(/⁾₂^^,---^(^^>к^Ф)---)) мо­жет быть ложной лишь тогда, когда все «посылки» (ан­тецеденты) Р,, Р%,..., Р_к истинны, а «заключение» (кон-секвент) Ф ложно, семантич. определение логич. сле­дования для классич. Л. в. оказывается эквивалент­ным условию, чтобы эта формула была тождественно-истинной, т. е. при любых значениях пропозицио­нальных переменных принимала бы лишь значение «истина». Вопрос о том, следует ли данное заключе­ние 3 (в смысле классич. Л. в.) из посылок П_Л,...,П_К может быть сведен, т. о., к вопросу о том, является ли нек-рая формула Л. в. тождественно-истинной («законом Л. в.») или нет. Для Л. в. этот вопрос ре­шается принципиально очень просто (см. Тождест­венная истинность, Тавтология).

Естественно, встает, однако, вопрос о том, нельзя ли множество «законов Л. в.» охарактеризовать непосред­ственно формой выражающих их формул. Иными сло­вами, нельзя ли дать такие правила, к-рые среди всех формул Л. в. выделили бы — только по их форме — тождественно-истинные. Оказывается, это можно сде­лать, причем различными способами. Прежде всего аксиоматически, т. е. в нек-ром смысле аналогично приведенному выше определению формулы Л. в. Именно, сначала задаются нек-рые формулы (или схе­мы формул: но формулы, а формы формул, где роль пропозициональных переменных играют формульные неременные, но трактуемые не формально, а содержа­тельно), к-рые наз. аксиомами (соответственно, схе­мами аксиом) Л. в., а затем формулируются правила вывода, позволяющие из уже имеющихся формул по­лучать новые. Если все аксиомы при семантич. истол-ковывании оказываются тождественно-истинными фор­мулами Л. в., а правила вывода, будучи примененными к тождественно-истинным формулам, дают тоже тож­дественно-истинные формулы, то аксиоматика выде­ляет нек-рое множество Т тождественно-истинных формул и при этом является непротиворечивой (как в том смысле, что в ней не может быть выведена ника­кая пара формул, одна из к-рых является отрицанием другой, так и в том смысле, что из нее заведомо не может быть выведена любая формула Л. в. и, в част­ности, к.-л. пропозициональная переменная, т. к. последняя заведомо не есть тождественно-истинная

формула), пели всякая тождественно-истинная формула выводима в данной аксиоматике, то послед­няя наз. семантически полной. Во вся­кой непротиворечивой и семантически полной аксио­матике классич. Л. в. множество Т выводимых в ней формул совпадает со всем множеством тождественно-истинных формул Л. в. Таковой является, напр., аксиоматика классич. Л. в., приведенная в ст. Вы­вод (в математич. логике). Эта аксиоматика является «полной» еще и в том смысле, что к ней «ничего нельзя добавить»: всякое добавление к ней в качест­ве аксиомы к.-л. формулы, но выводимой в ней, делает ее противоречиной. Аксиоматика конструктивной Л. в. этим свойством «полноты» не обладает.

Если исходными в аксиоматике классич. Л. в. являются не аксиомы, а схемы аксиом (каждой из к-рых соответствует, т. о., бесконечное множество аксиом), то обычно единств, правилом вывода в ней бывает правило удаления знака импли­кации (модус поненс), позволяющее из двух уже имеющихся формул А и {AzdB) получить формулу В. Если же исход­ными являются сами аксиомы (конечное их число), то к чи­слу правил вывода приходится присоединить и правило подстановки.

Для целей вывода логич. следствий аксиоматика («полная»), может быть использована и независимо от ее семантич.истол­кования. Так, при наличии в ней правила модус поненс (а значит, и знака импликации в «языке» формул) всякий вы­вод логич. следствия формы Ф из посылок, имеющих формы Р,, ..., Р_к может быть осуществлен с помощью вывода из-аксиом «закона Л. в.»: (Р,^(Р₂гэ...1^(Р_к=)Ф)...))и применения (к раз) правила модус поненс. Ничего другого, кроме «зако­нов Л. в.» и одного лишь этого правила, для вывода логич. следствий, т. о., не требуется. Для того же, чтобы обеспечить, такую «полноту» аксиоматики Л. в., при наличии к-рой всякий вывод (по правилу модус поненс) формулы Ф из форм посылок Р,,..., Р_к и аксиом можно было заменить при­менением (к раз) правила модус поненс к формуле(Р,^(Р,=>... ...=э(Р_к =)Ф)...)), выводимой только из аксиом,— т. е. чтобы была верна т. н. «теорема дедукции»,—семантич. полнота акси­оматики не является необходимой.Достаточно иметьвней сле­дующие две схемы аксиом: (1) (Л=)(В^А)) и (2) ((Агэ(В:эС))=з ((А^) В) :s(A => С))). [Этими схемами — при наличии пра­вила модус поненс — обеспечивается возможность: а) до­бавлять к множеству посылок лишние, в частности, считать всякую отд. посылку логич. следствием из всего их множе­ства; б) в формуле (P^Pa^.-.iDfP,; =>Ф)...)) как угодно пере­ставлять посылки Р,,..., Р_к, т. е. считать вывод не зависящим от порядка посылок; в) в множестве посылок отбрасывать по-, вторяющиеся; г) вывод из заключения, следующего из нек-рых посылок, считать выводом только из этих посылок. Если желательно выяснить роль каждого из этих свойств вывода в отдельности, то естественно заменить — как это и было сделано X. Кёрри — схемы (1), (2) такими, к-рые непосредственно отражают все эти свойства вывода]. В аксио-. матине конструктивной Л. в. теорема дедукции также спра­ведлива.

Заметим, что при наличии одного только правила модус поненс достаточно добавить к схемам аксиом (1), (2) т. н. «закон двойного отрицания» в виде следующей схемы: (3). (((A=>f)=>f):DA),— где f есть вводимая в алфавит постоянная, в наиболее естественном семантич. истолковании соответ­ствующая «лжи», — чтобы получить семантически полную аксиоматику для классич. Л. в. (см. А. Чёрч, Введение в математическую логику, т. 1, М., 1960, гл. I).

Хотя Л. в. является более простой частью логики, чем силлогистика Аристотеля, исторически она возникла позднее — по-видимому, в школе стоиков (см. Стои­цизм), к-рые уже изучали логич. связки (такие, как им­пликация) и делали попытки сформулировать аксиомы Л. в. (ее осн. законы). Но в дальнейшей истории логики. Л. в. не выделялась в особую часть этой науки вплоть, до последней четверти 19 в. [первыми работами, по­священными специально Л. в., обычно считаются ра­боты Хью Мак-Колла (1877)]. Однако и в это время Л. в. трактовалась чаще всего — в восходящих еще к идеям Буля работах Пирса, Шредера,, англ. логика Дж. Венна, Порецкого и др. — лишь как одна из воз­можных интерпретаций логики классов, к-рая рассмат­ривалась как соответствующая силлогистике Ари­стотеля.

Логика при этом строилась содержательно: как ме­тод сведения задач логики к задачам арифметики, ал­гебры или геометрии, способы решения к-рых пред­полагались уже известными из этих наук. В частно-

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

сти, поскольку всякое решение уравнений (и систем уравнений) всегда есть нек-рый вывод логич. след­ствий (определ. вида) из посылок, записанных в виде уравнений, естественно, возникло желание свести любые задачи, относящиеся к логич. выводу следст­вий, к решению уравнений и систем уравнений. Для Л. в. это оказалось особенно легко осуществимым, т.к. связки Л. в. можно было толковать как арифметич. функции, рассматриваемые лишь при двух различных значениях входящих в них переменных.

Так, если «истину» обозначить через 0, а «ложь» через 1, то табличное определение импликации (xidi;), где х, у — пропозициональные переменные, выразится функцией <1—х)у. Высказыванию же (XzdY), где X, Y — элементар­ные высказывания, будет соответствовать утверждение, что (1—X)-Y=0. Посылки (Pz^Q) и (QzdR), т. о., выразятся уравнениями (1— P)Q = 0 и (1—Q)R = 0; откуда PQ — Q и QR=R. Поэтому, далее PR = P(QR) =(PQ)H = QH=H, т. е. PR = R, или (1 — P)R = Q, т. е. (PziR). Итак, оперируя с уравнениями, соответствующими посылкам (PzdQ) и (QzdR), по обычным правилам арифметич. алгебры, мы приходим к заключению (P^>R), к-рое является,т.о., логич. следствием из этих посылок.

Алгоритм вывода логич. следствий и др. алгоритмич. проблемы Л. в. особенно легко сводятся к алгоритмам решения линейных уравнений при построении Л.в. как ариф­метики вычетов по модулю 2 (по И. И. Жегалкину, см. его соч. «Арифметизация символической логики», в Матем. сб., т. 35, вып. 3 — 4, 1928, т. 36, вып. 3 — 4, 1929).

Геометрич. методы решения задач логики, начало к-рым было положено еще Л. Эйлером, в применении к Л. в. в наст, время используются чаще всего в виде диаграмм Венна, до­стоинством к-рых является (когда приходится иметь дело с формулами с небольшим числом пропозициональных пере­менных) их геометрич. наглядность, побуждающая считать их особенно пригодными, напр., при построении схем, отра­жающих работу нейронов (работы амер. ученого Мак-Каллока и его учеников).

Алгебраич. методы решения задач Л. в. в наст, время связываются прежде всего с истолкованием как классич., так и конструктивной Л. в. в виде нек-рых структур (в смы­сле алгебраич. «теории структур»): дистрибутивной струк­туры с дополнениями (или алгебры Буля) — в случае клас­сич. Л. в., и импликативной структуры (в к-рой имплика­ция является нек-рым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение) — в случае конструктивной Л. в.

Содержательным («семантическим») построением классич. Л. в. как математич. теории функций (опре­деляемых таблично и соответствующих логич. связ­кам, употребляемым при построении сложных выска­зываний) и до сих пор иногда еще исчерпывается (осо­бенно в популярных руководствах) изложение Л. в. Основанному на более строгом анализе логич. средств (в том числе и допускаемых в самом построении Л. в. как науч. теории) уточнению правил логич. вывода («синтаксису») Л. в. при этом не уделяется достаточ­ного внимания. Однако для многих приложений Л. в., особенно технических, такого ее «табличного» построе­ния оказывается достаточно.

Существенную роль при этом играет возможность приводить (заменяя их эквивалентными, т. е. выражаю­щими ту же функцию) формулы Л. в. к т. н. нормальным фор­мам (см. также Алгебра логики).

Особенно большую роль, напр., при решении задач минимизации числа контактов в электрич. релейных схемах, играет т. н. «сокращенная нормальная форма», к-рая была предметом исследования в ряде работ сов. (С. В. Яблонский и его ученики, Е. К. Войшвилло и др.) и зарубежных (У. Ку-айн, Д. Нельсон и др.) авторов. Двойственный (см. Двой­ственность) к дизъюнктивной «сокращенной нормальной форме» конъюнктивный «силлогистич. многочлен» (термин принадлежит амер. логику А. Блэку, продолжившему работу П. С. Порецкого) имеет полезные применения к выводу логи­ческих следствий. Его членами являются все те и только те формулы, к-рые наз. «простыми следствиями» из конъюнк­ции посылок, приводящейся к данному силлогистич. много­члену, а понятие «простого следствия, неэквивалентного к.-л. из посылок», можно считать нек-рым уточнением поня­тия «нетривиального следствия».

Естественным обобщением для таблиц (матриц), определяющих связки Л. в. как истинностные функ­ции (функции, принимающие значения: «истина», «ложь» в зависимости от того, какие из этих значений принимают их аргументы), являются матрицы с боль­шим, чем 2, числом истинностных значений, соответ­ствующие многозначным Л. в. (см. Многозначная

логика). Первая трехзначная Л. в. была построена Лукасевичем в 1920. Филос. вопросам, связанным с многозначными системами Л. в., была посвящена ста­тья Лукасевича (1930). Трехзначная Л. в. с истинност­ными значениями: «истина», «ложь», «бессмыслица», была предложена как один из методов решения труд­ностей, связанных с парадоксами (антиномиями) теории множеств, сов. логиком Д. А. Бочваром в 1938. Вопросам об аксиоматизируемости многознач­ных Л. в. (т. е. замене табличного их построения аксио­матическим) был посвящен ряд работ польских логи­ков: М. Вайсберга, В. Слупецкого, Б. Собочиньского, Тарского и др., а также работы амер. ученых Б. Pocci-ра и А. Тюркетта. Таблично строящиеся многозначные Л. в. играют существ, роль при доказательствах неза­висимости аксиом в аксиоматич. построении Л. в.: если при истолковании связок как функций, опреде­ляемых к.-л. многозначной таблицей, все аксиомы из рассматриваемой их системы, за исключением той, независимость к-рой подлежит доказательству, равно как и формулы, выводимые из них по правилам вывода данной аксиоматически построенной Л. в., не прини­мают никогда к.-л. значения а, к-рое данная аксиома может принимать, то ясно, что последняя не выводима из остальных, т. е. является независимой от них. Поскольку вопрос о тождественной истинности (о том, что формула принимает лишь нек-рые «выде­ленные» значения) особенно легко решается (принци­пиально) при табличном построении Л. в., большое значение имеет вообще задача отыскания для аксио­матически построенной Л. в. (системы 2) такой ее табличной интерпретации («характеристической мат­рицы»), в к-рой не только все формулы, выводимые в системе 2, оказываются тождественно-истинными, но и, наоборот, все тождественно-истинные в этой матрице формулы оказываются выводимыми в 2. Для полных систем аксиом классич. Л. в. такие мат­рицы состоят из обычных определений связок Л. в. с помощью истинностных таблиц. Для конструктив­ной Л. в., как это было показано Гёделем, конечной характеристич. матрицы не существует (т. е. конструк­тивная Л. в. не является к.-л. fc-значной Л. в.). Но польским логиком С. Яськовским в 1935 была построе­на (бесконечная) последовательность матриц такая,что всякая формула, выводимая в конструктивной Л. в., должна быть «тождественно-истинной» во всех матри­цах этой последовательности и, наоборот, всякая фор­мула, «тождественно-истинная» во всех матрицах этой последовательности, является выводимой в конструк­тивной Л. в. Отправляясь от матриц Яськовского, не­трудно построить (что и было сделано сов. логи­ком Б. Ю. Пильчак и несколько по-иному Д. Скот­том, предложившим систему «аксиом» и правил «вы­вода» для получения всех недоказуемых формул ин­туиционистской Л. в.) разрешающую процедуру для конструктивной Л. в., позволяющую для всякой фор­мулы Л. в. установить, является ли она выводимой в конструктивной Л. в. или нет. Другие разрешаю­щие процедуры для конструктивной Л. в. были пред­ложены Г. Генценом (исчисление секвенций), сов. ма­тематиком Н. Н. Воробьевым, Э. Бетом (дедуктивные таблицы) и др. (Для всякой семантически полной аксиоматики классич. Л. в. такой разрешающей про­цедурой может быть, напр., табличное установление того, является ли данная формула тождественно-ис­тинной или нет. В то же время, — как показал А. В. Кузнецов и для некоторых задач ранее Э. Пост,— многие более общие алгоритмические проблемы, связанные со всем классом т. н. «обыкновенных исчислений высказываний», являются неразреши­мыми. Таковы, напр., задачи: построить алгоритм, который по списку / аксиом такого исчисления и фор­муле Ф распознавал, выводима ли Ф в / или нет; по-

Поиск по сайту: