ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ 209 4 страница

und der Antropologie, Bern, 1931; Hartmanri N., Hegel und die Probleme der Realdialektik, «Blatter fiir deutsche Philosophie», IX, 1935; Foulquie P., La dialectique..., 1949; G u a r d i n i R., Dialektische Gegensatz,..., 1955; Brocter W., Dialektik. Positivismus. Mythologie, Fr./M., 1958; О g i-ermann H., Zur Frage nach dem Wahrheitsgehalt von Dia­lektik, «Festschrift E. Przywara», 1959, S. 106—125; Wald H., Introducere In logica dialectica, [Buc], 1959; Sartre J. P., Critique de la raison dialectique. v. I, Theorie des ensembles pratiques, P., i960; его нее, L'gtre et le neant, P., [I960]; J a s n у J., Kategorie marxis-ticke dialektiky, Praha, 1961; Z e 1 e n у J., О logicke struk-ture Marxova «Kapitalu», Praha, 1962; Bachelard G., La philosophie du non, 3 ed., P., 1962. А. Богомо­лов. Москва (Л. д. в бурж. философии 2-й пол. 19— 20 вв.), П. Копнин. Киев (Л. д. в сов. философии), А. Лосев. Москва (история Л. д., основные принци­пы и законы Л. Д., о диалектике категорий, биб­лиография), Е. Ситковский, А. Спиркин. Москва (предмет и задачи Л. д., о системе диалектич. кате­горий).

ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ— раздел логики, в к-ром изучаются логич. процессы перехода от еди­ничного знания к общему. В наст, время анализ этих процессов вошел в круг рассмотрения вероятностной логики как частный случай решения более широкой задачи: определения степени правдоподобия, или веро­ятности, данного знания па основании нск-рой имею­щейся (неполной) информации; это позволяет гово­рить о вероятностной логике как о совр. форме Л. и. Однако в вероятностной логике не рассматривается ряд методологич. вопросов, возникших еще в традиц. Л. и. Исторически проблематика Л. и. тесно связана с более широкой гносеологич. проблемой выяснения отношения между теоретич. и эмпирич. знанием — вообще, с вопросами логики и методологии наук, не­посредственно опирающихся на наблюдения и экспе­рименты (т. н. эмпирич. науки).

Отношение общего и единичного знания изучалось еще в антич. древности. Уже Сократ ставил вопрос о способах образования общих понятий. В теории умозаключений отношение общего и единичного знания впервые рассматривалось Аристотелем, к-рый описал логич. процесс, получивший впоследствии название индукции через простое перечисле­ние, и выявил гносеологич. аспект индукции, состоя­щий в ее связи с чувств, восприятиями. Но Аристотель разрабатывал прежде всего силлогистику, и индукция интересовала его лишь постольку, поскольку помо­гала в объяснении процесса получения общих посы­лок силлогизмов; при этом индукцию он считал не­ким несовершенным видом вывода. Объясняется это прежде всего особенностями совр. ему науки, в к-рой методы активного опытного исследования не получили еще достаточного развития.

Индуктивная логика Бэкон а—М и л-л я. Первой попыткой создания Л. и. как особой об­ласти логики, независимой от силлогистики — и, более того, противопоставляемой ей как истинный ме­тод познания,— является логич. учение Ф. Бэкона. Оно явилось выражением запросов и тенденций естест­вознания нового времени, возникшего интереса к ло­гике и методологии науч. эмпирич. исследования. Под «индукцией» («наведением») Бэкон фактически понимал всякое движение познания от единичного к общему, всякий процесс выработки мысленных обоб­щений, резюмируемый в понятиях и суждениях. «На­ведение» Бэкон противопоставлял силлогизму как процессу использования «готовых», уже выработан­ных и зафиксированных в языке, абстракций.

Приступая к исследованию обобщающих выводов, Бэкон прежде всего подверг критике индукцию через простое перечисление (см. Популярная индукция), т. к., по его словам, она дает шаткие заключения и подвержена опасности быть опровергнутой противо­речащим примером. «Истинным наведением», по Бэко­ну, является индукция, с помощью к-рой можно от­крывать «формы», т. е. нечто устойчивое в явлениях,

222 ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ

нек-рую внутр. определенность, обусловливающую ту или иную «природу» вещи, ее внешние свойства. Отношение между «формой» и определяемой ею «при­родой», по Бэкону, характеризуется следующим:

1) когда имеет место форма к.-л. природы, то и данная
природа неизменно присутствует; 2) когда форма
удалена, то и данная природа неизменно исчезает;
3) когда форма убавляется или увеличивается, то соот­
ветственно убавляется или увеличивается определяе­
мая ею природа. На основании этих свойств отноше­
ния формы и природы и должно осуществляться иссле­
дование форм. Сопоставляемые факты заносятся в «таб­
лицу присутствия», «таблицу отсутствия» и «таблицу
степеней», задачу и цель к-рых он определял как «пред­
ставление примеров разуму». Центральной логич. иде­
ей таблиц Бэкона является выделение схемы сопостав­
ления двух явлений, ведущей к установлению необ­
ходимой связи между ними; эта идея связана, однако,
еще с архаич. понятием «формы», идущим от Аристо­
теля и схоластов. Бэкон рассматривает свои таблицы
как приемы открытия. Индукцию он противопостав­
ляет традиц. силлогистике пак логику открытия,
исследования — логике обоснования, доказательства.

Идеи, заложенные в «Новом Органоне» Бэкона, по­лучили дальнейшее развитие в трудах англ. естест­воиспытателя и материалиста Дж. Гершеля. В соч. «Философия естествознания» (J. F. Herschel, Prelimi nary discourse on the study of natural philosophy, 1830; рус. пер. 1868) Гершель подчеркивает значение науч. обобщения. Указывая, что нахождение законов природы происходит путем установления причинных связей, он выделяет ряд свойств этих связей: 1) не­изменность связи причины и следствия и, в частности, неизменность предшествования причины следствию;

2) неизменность отсутствия следствия при отсутствии
причины; 3) возрастание или уменьшение следствия
с возрастанием или уменьшением интенсивности при­
чины; 4) пропорциональность следствия причине во
всех случаях ее прямого, беспрепятственного дейст­
вия; 5) уничтожение следствия с уничтожением при­
чины. На основании этих признаков Гершель сформу­
лировал правила установления причинных связей.

Последней вехой в эволюции бэконовской линии Л. и. явилось логич. учение Дж. С. Милля. Нек-рые авторы (напр., Л. Лиар, Английские реформаторы логики в XIX в., пер. с франц., 1897; П. Лейкфельд, Логическое учение об индукции..., 1896) утверждают, что целью Милля явилась разработка Л. и. как логи­ки доказательства, а не открытия. На самом же деле для Милля доказательство неотделимо от процесса открытия и является лишь определ. аспектом по­следнего: получение нового положения в соответствии с определ. логич. правилами (т. е. открытие) есть одновременно и процесс обоснования, доказательства этого положения. При этом гл. задачу своей Л. и. Милль видит в установлении причинных связей яв­лений; с этой целью он формулирует, развивая идеи своих предшественников, известные методы исследова­ния причинной связи. Процесс рассуждения по этим методам представляет собой установление зависимо сти между эмпирически воспринимаемыми явления­ми, осуществляемое посредством сопоставления ситуа­ций, в к-рых варьируется присутствие, отсутствие и изменение (по степени интенсивности) исследуемых явлений.

Характерной чертой Л. и. Бэкона—Милля является трактовка всякого рассуждения, ведущего от факта к теории, от явлений к закону как индуктивного в своей основе процесса. Такое расширит, понимание индукции ведет к «всеиндуктивизму», подвергнутому критике Энгельсом (см. Индукция). С т. зр. «всеиндук-тивизма», индукция есть осн. метод естеств. наук; все науки, изучающие эмпирически данные объекты, I

рассматриваются как индуктивные. Это- истолкова­ние индукции создает иллюзию того, что средства Л. и. являются единственно возможными при движе­нии мысли в процессе формирования науч. знания.

Гипотетик о-д едуктивная концеп­ция Л. и, Др. линией развития Л. и. явилось изучение процесса подтверждения нек-рого общего положения, взятого как гипотеза, эмпирически на­блюдаемыми фактами. В отличие от бэконо-миллев-ского направления, стремившегося выявить логич. пути открытия общего знания, целью Л. и. этого типа было установление логич. критериев подтверждае-мости (обоснованности) общего знания, взятого как нечто данное, единичными фактами. Обоснование гипотезы происходит как путем сопоставления ее с уже известными эмпирич. фактами, так и с теми фак­тами, к-рые могут быть установлены в будущем; ина­че говоря, обоснование гипотезы предполагает оцен­ку ее с т. зр. эффективности в объяснении имеющихся фактов и в предвидении новых. И то, и другое требует дедукции эмпирически проверяемых следствий, свое­образие к-рой состоит в том, что гипотеза выступает в качестве одной из посылок дедуктивного вывода. Метод обоснования теоретич. обобщений (рассматри­ваемых в качестве гипотез) при помощи дедукции из них эмпирически проверяемых следствий наз. г и п о» т е т и к о-д едуктивным методом. Идея этого метода содержится уже в высказываниях итал. философа 16 в. Цабареллы и работах Галилея. Оба мыслителя проводили аналогию между проверкой вновь открытых науч. законов и решением задач в геометрии методом анализа, описанным антич. мате­матиком Па пом, усматривая сходство обоих процес­сов в том, что в обоих случаях имеет место вывод след­ствий из еще не доказанных положений и подтверж­дение этих следствий путем сопоставления с извест­ными данными. Как оформленная концепция гипоте-тико-дедуктивный метод нашел свое выражение в ра­ботах Лейбница (см. L. Couturat, La logique de Leibniz d'apres des documents inedites, 1901), к-рый также уподоблял проверку естеств.-науч. законов методу анализа Папа. Лейбниц уже прямо ставит вопрос об условиях наибольшей обоснованности ги­потезы и формулирует эти условия (см. Вероятност­ная логика). Систематич. изложение Л. и., основанной на гипотетико-индуктивном методе, содержится в ра­ботах У. Уэвелла.

Аналогичные идеи Л. и. в 19 в. развивали нем. фи­лософ Э. Апельт, Джевонс, Зигварт и др.

В. Швырев. Москва.

Современная Л. и. В 20 в. в связи с раз­витием математич. логики возникает совр. форма Л. и., исторически связанная с обоими указанными выше направлениями Л. и., особенно с гипотетико-дедуктивным методом. Гл. задачей совр. Л. и. явля­ется разработка средств для оценки степени логич. связи одних высказываний (называемых гипотезами) с другими, истинность к-рых известна. Получение такой оценки наз. индуктивным выводом. Индуктив­ный вывод понимают также и в более узком смысле: как заключение об истинности гипотезы, к-рая «в большой степени» следует из имеющихся знаний. В случае, когда это следование является логическим, вывод становится дедуктивным. Бели же гипотеза имеет форму общего закона, а наши знания — форму высказываний об отд. наблюдениях, мы имеем дело с уточненной формулировкой осн. проблемы традиц. Л. и.— проблемы получения вывода от частного к общему. При исследовании индуктивного вывода уточнение традиц. постановки вопроса происходит в основном в двух направлениях: 1) если в традиц. логике речь шла только о двоякой возможной оценке гипотезы (либо о ее принятии, либо о ее отклонении),

ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ 223

то в совр. Л. и. имеет место более гибкая — много­значная — оценка приемлемости гипотезы; 2) если в Л. и. 18—19 вв. не рассматривались способы получения статистич. законов, то в совр. Л. и. эти способы становятся предметом спец. иссле­дования; кроме того, в совр. Л. и. уточняются раз­личные понятия и методы, возникшие в традиц. Л. и.: методы Милля, выводы по аналогии, само понятие гипотезы и т. д.

В формализованном языке, в к-ром определено по­нятие логич. следования, степень связи между гипо­тезой h и знанием е есть нек-рая функция С (h,e) (наз. степенью подтверждения, или С-функцией), удовлетворяющая условию 0^C(h, e)^0.\ C(h, e) равна 1, если h логически следует из е, и С (h, e) равна 0, если h логически противоречит е. В различ­ных системах Л. и. в основу кладутся разные опре­деления С-функции. В частности, в нек-рых системах степень подтверждения оценивается не количествен­но, а лишь сравнительно, в терминах «больше — мень­ше»; при этом все определения удовлетворяют аксио-и&х тугжа" вераяпяэсгв (ок. Ве-р^хтксстб). Тах&й подход соответствует содержательно-интуитивному по­ниманию степени подтверждения: чем сильнее свя­зано hue, тем больше вероятность того, что h истин­но, при условии, что е истинно. В своих исследова­ниях (в обоих вышеуказанных направлениях) Л. и. существенно опирается на теорию вероятностей, вы­ступая в качестве вероятностной логики.

В наст, время определения С-функции даны лишь для явыков с одноместными предикатами. Одной из осн. задач Л. и. является построение С - функций для более богатых формализованных языков, приближающихся к языку совр. науки. Др. задачей Л. и. является выбор из множества С-функций, возможных в данном языке (т. е. удовлетворяющих аксиомам теории вероятностей), одной конкретной С-функ­ции. Этот выбор зависит уже не от свойств данного языка (т. к. различные возможные С - функции формально равно­правны), а от реальной практики науки. Задача состоит в том, чтобы выбрать С-функцию, подтверждающую гипо­тезы в степени, соответствующей практич. частоте истин­ности этих гипотез.

Исследования в области совр. Л. и. принадлежат
Рейхенбаху, Карнапу (оба они построили числовые
определения С-функций), К. Гемпелю (к-рый ввел
понятие функции подтверждения), Кемени, И. Бар-
Хиллелу и др. Предшественниками совр. идей в Л. и.
можно считать англ. логика 19 в. Дж. Венна и Кейнса.
В последнее десятилетие круг проблем Л. и. рас­
ширился. Определилась связь Л. и. с теорией ин­
формации, в терминах которой хорошо формули­
руются проблемы, связанные с экспериментальной
проверкой гипотез: из множества возможных экс-
пергщгентов, служащих проверке гипотезы, следует
выбирать, очевидно, тот, высказывание об исходе
к-рого несет наибольшую информацию. При выборе
последовательности экспериментов необходимо учи­
тывать, что суммарная информация, содержащаяся
в высказываниях об их результатах, тем болыпе,чем
в большей степени выбранные эксперименты незави­
симы друг от друга. В данном случае информац. кри­
терий оказывается уточнением традиц. требования раз­
нообразия примеров при проверке гипотез. Тенденция
развития Л. и. указывает на то, что в ходе дальней­
шего развития Л. и. информац. подход будет играть
BCO большую роль. О. Кузнецов. Москва.

Методологический аспект Л. и. Тра­диц. Л. и. носила ограниченный характер. Сфор­мулированные в ее рамках понятия индуктивного обобщения, индуктивных методов (Бэкон — Милль) и логич. оправдания гипотез выражали лишь относи­тельно несложные логич. процессы. Не осознав зна­чения образования науч. абстракций и их роли в обо­сновании общего знания, представители традиц. Л.и. сводили процесс формирований последнего либо к эмпирич. обобщению или сопоставлению результатов

единичных наблюдений и экспериментов, либо к при­менению гипотетико-дедуктивно го метода, в к-ром де­дукция выступала в качестве «обратного применения индукции». Оба аспекта традиц. Л. и. носили «все-индуктнвистский» характер.

С диалектико-материалистич. т. зр. процесс полу­чения новых научно-теоретич. положений не может быть объяснен средствами одной лишь Л. п., поскольку существо процесса науч. открытия и доказательства не сводится к установлению эмпирич. законов, а ха­рактеризуется прежде всего вычленением нового мысленного содержания — образованием науч. поня­тий и систем понятий, к-рые объединяют полученные эмпирич. данные в цельную и строгую теоретич. си­стему.

Неспособность традиц. Л. и. объяснить весь про­цесс формирования научно-теоретич. знания и яви­лась причиной того, что совр. Л. и. отказалась от пре­тензии быть учением, объясняющим, как происходит в науке открытие ее законов, и сосредоточила свое преимуществ, внимание на изучении вопросов, касаю­щихся- ваанкн вероятности гипотезы: относительно подтверждающей ее информации. Такое ограниче­ние задачи совр. Л. и. вполне оправдано с т. зр. ее исходных абстракций. Однако у ряда зарубеж­ных логиков-неопозитивистов оно сопровождается принципиальным отказом от логич. исследования процессов получения нового знания в науке, не­правомерным отрицанием возможности анализа этих процессов. Противопоставление процесса открытия нового знания (изучение к-рого они предоставляют психологии) логич. исследованию знания в конечном счете приводит к отказу вообще от логич. анализа этого процесса. Попытки же логиков-неопозитивистов ре­шить гносеологич. проблему связи общего теоретич. знания с эмпирич. знанием в отвлечении от процессов выработки новых абстрактных понятий исключитель­но путем логич. анализа подтверждения гипотез, как показывают их собственные логич. исследования, сталкиваются с рядом трудностей (см. В. С.Швырев, Критика неопозитивистской концепции индуктивной логики, «Вопр. философии», 1961, № 3). Действитель­ное решение этой проблемы возможно лишь в рамках диалектико-материалистического учения о взаимодей­ствии «дедуктивного» (предполагающего применение сложившейся системы теоретич. понятий) и «индуктив­ного» (включающего в себя учет не укладывающихся в эту систему новых эмпирич. фактов и обобщений) процессов. Существо этого взаимодействия составля­ет активная, творческая деятельность мышления по выработке новых абстракций, приводящая к возник­новению новых теоретич. систем, более глубоко, чем предшествующие им, отражающих действительность. См. Теория познания, Истина.

Лит.: Энгельс Ф., Диалектика природы, М., 1955 (см. по указателю на ел. «Индукция» и «Гипотеза»); Ари­стотель, Аналитики первая и вторая, М., 1952; Е в-к л и д, Начала..., пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мор-духай-Болтовского, М.—Л., 1950, кн. 13; Владислав-лев М. И., Логика, СПБ, 1881, отд. 3; Д ж е в о и с У. С, Элементарный учебник логики..., СПБ, 1881; У э т е р л и Ф. Э., Основы индуктивной и дедуктивной логики, пер. с англ., К. —X., 1894; М и л л ь Д. С, Система логики силлоги-стич. и индуктивной, пер. с англ., М., 1914; Бакрадзе К., Логика, Тб., 1951, гл. 8; Москаленко Ф. Я., Учение об индуктивных выводах в истории рус. логики, К., 1955; У ё м о в А. И., Индукция и аналогия, Иваново, 1956; Филос. вопросы совр. формальной логики.[Сб. ст.], М., 1962; Whewell W., Philosophy of the inductive science..., v. 1—2, L., 1840; e г о ж е, On the philosophy of discovery..., L., 1860; L a 1 a n d e A., Les theories de l'induction et l'experimentation, P., 1929; F e i g 1 H., The logical chara­cter of the principle of induction, «Philos. Sci.», 1934, v. 1; H e m p e 1 C, Studies in the logic of confirmation, «Mind», 1945, v. 54, № 213; К n e a 1 e W., Probability and induction, Oxf., 1949; Reichendach H., The theory of probability, 1949; К г a f t V., Der Wiener Kreis, W., 1950; С a r n a p R., Logical foundations of probability, Chi.,1950; его же, Continuum of inductive methods, Chi.,1952; Kemeny

224 ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ— ЛОГИКАКЛАССОВ

J.G., Extension of methods of inductive logic, «Philos. Stu-dies», 1952, v. 3, № 3; В г a i t h w a i t e R. В.. Scientific explanation, Camb., 1953; Wright С N., The logical pro­blem of induction, 2 ed., Oxf., 1957; С a r n a p R., Induktive Logik und Wahrscheinliohkeit, W., 1959; II p и-маковский А. П., Библиография по логике, М., 1955.

В. Швырев. Москва.

ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ— логика, все законы к-рой применимы в рассуждениях об объ­ектах микромира и в частности об объектах, рассмат­риваемых в квантовой механике (отсюда и название этой логики). Обычная классич. логика не может слу­жить логикой рассуждений о микрообъектах, т. к. классич. исчисление высказываний — эта основа классич. логики— является т. н. булевой алгеброй (см. Алгебра логики) и применимо лишь к таким обла­стям знания, в к-рых к каждому высказыванию может быть отнесено одно и только одно из двух значений истинности: «истинно», «ложно» (если это обычное двузначное исчисление высказываний), приписана од­на и только одна степень вероятности (если это веро­ятностная логика, являющаяся т. п. булевой алгеб­рой с мерой). Но в квантовой механике ни первое, ни второе условие не выполняется; напр., конъюнкция высказываний (а) «д есть координата нек-рой частицы, полученная в результате измерений, выполненных в момент времени *,» и (б)«р есть импульс той же частицы, полученный в результате измерений, выпол­ненных в момент t₂», теряет смысл, если t^t^, что объ­ясняется тем, что в этом случае теряет смысл (стано­вится неопределенным) одно из этих высказываний, т. к. в силу принципа неопределенности (см. Микро­частицы) невозможно одновременно измерить импульс и координаты одной и той же частицы. Отсюда следует ограниченность применения в квантовой механике классич. логики; применяя последнюю, нужно каж­дый раз уметь определить, выполняются ли для соот­ветствующих высказываний квантовой механики ука­занные выше условия. Такое определение предпола­гает, что имеется правило, позволяющее нам, с боль­шей или меньшей степенью формализации, произво­дить обрисованный выше содержательный анализ высказываний квантовой механики. Формулировка этого правила, к-рая может быть достаточно сложной, и составляет, по существу, главную задачу Л. к. м. Поскольку это правило можно формулировать различ­ным образом, допустимы — и действительно уже по­строены — различные логич. системы, формализующие рассуждения о микрообъектах. Общей чертой этих логич. систем является то, что в них не предполагается в общем случае действие отмеченных выше условий применимости классич. логики высказываний, что и приводит к ряду существенных отличий Л. к. м. от классич. логики. Так, в Л. к. м., построенной амер. математиками Г. Биркгофоми Дж. Нейманом, не вы­полняются в общем случае, даже для коночной обла­сти, дистрибутивности законы (однако эти законы сохраняют свою силу для одновременно наблюдае­мых свойств, вообще для этих свойств сохраняет свое действие обычная классич. логика). Др. приме­ром Л. к. м. является логич. система описания микро­объектов, предложенная Рейхенбахом. Последний пошел по пути отнесения к высказываниям наряду с истинностью и ложностью еще и третьего значения истинности, к-рое можно истолковать как неопре­деленность, и построил нек-рую своеобразную трехзначно-двухзначную логику. В логике Рейхенба-ха сохраняются закон тождества, законы дистрибу­тивности и закон противоречия (причем даже в не­скольких формах), но закон исключенного третьего теряет силу (для всех рассматриваемых в этой логике различных операций отрицания).

Во всех системах Л. к. м. для физически осмыслен­ных высказываний принципиально предусмотрен пе-

реход к обычной классич. двузначной логике. В силу этого, как правило, нет оснований применять системы Л. к. м. в конкретных исследованиях теоретич. или экспериментальной физики, поскольку в таких иссле­дованиях необходимый содержательный анализ выс­казываний об объектах микромира можно выполнять и не прибегая к (более или менее) формализованным в логике правилам, а используя лишь средства физич. эксперимента и заменяющие его математич. построе­ния. Однако для более широких целей, в частности для философского анализа осн. понятий и методов квантовой механики, Л. к. м. представляет несомнен­ный интерес, т. к. она доставляет системы, правил, позволяющих отличать высказывания, имеющие фи­зич. смысл в квантовой механике, от высказываний, не имеющих такого смысла, и оперировать со всеми этими высказываниями строго логически.

Лит.: Б и р к г о ф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952; Кузнецов Б. Г., Об основах квантово-реляти-
вистской логики, в сб.: Логич. исследования, М., 1959;
3 и н о в ь е в А. А., Филос. проблемы многозначной логики,
М., 1960, с. 41—46; В irk hot f G. und Neumann
J. von, The logic of quantum mechanics, «Annals Math.»,
1936, v. 37; P ё v r i e r P., Les relations d'incertitude de
Heisenberg et la logique, «Comt., Rend. Acad. Sci.», 1937,
t. 204, № 7; ее же, Sur une forme generate de la definition
d'une logique, там же, №12;Reichenbach IT., Philo­
sophic foundations of quantum mechanics, Berkeley—Los
Ang.,_ 1946. . В. Пятницын. Москва.

ЛОГИКА КЛАССОВ— раздел математич. логики, соответствующий такому усилению логики высказы­ваний, при к-ром элементарные высказывания уже не рассматриваются только как нерасчленяемое даль­ше целое, а имеют специфич. субъектно-предикатную форму, характеризующуюся тем, что понятия, входя­щие в элементарные высказывания, отождествля­ются с их объемами, т. е. с классами (множествами) объектов. [В нек-рых совр. курсах математич. логики (см., напр., W. Quine, Mathematical logic, 1940, или Р. Л. Гудстейн, Математическая логика, пер. с англ., 1961) под Л. к. понимается вообще определ. образом формализованная множеств теория, т. е. Л. к. рассмат­ривается как расширение не логики высказываний, апредикатов исчисления].

Отождествление понятия с его объемом вЛ.к. предполагает, во-первых, что содержанием понятия является не отношение, а свойство. (В ло­гике предикатов свойства выражаются одноместными предикатами, отношения же — не менее чем двумест­ными). Два свойства Р и Q — такие, что всякий пред­мет, обладающий одним из них, обладает и другим (определяющие, иными словами, один и тот же класс предметов), предполагаются, далее, неразличимыми средствами Л. к., т. е. все, что может быть сказано на «языке» Л. к. об одном из них, может быть сказано и о другом. Таковыми будут, напр. (в арифметике нату­ральных чисел), свойства: «быть четным простым чис­лом» и «быть числом, следующим за единицей» (обоим соответствует один и тот же класс натуральных чисел, состоящий из одного лишь числа 2).

Чтобы сделать возможными более широкие приме­нения Л. к. (особенно математические) и облегчить, наоборот, применение математики (в к-рой «О», обоз­начающий пустоту нок-рого множества объектов, трак­туется как число объектов этого множества) к решению задач логики, вЛ.к. пустой класс также при­числяется обычно к числу классов любой предметной области (последняя, наоборот, предполагается не­пустой). Пустой класс считается при этом частью вся­кого класса: включается как часть во всякий класс (см. Пустое). В т. н. классической Л. к., помимо пу­стого класса, вводится еще и универсальный класс, состоящий из всех объектов подлежащей рассмотрению предметной области.

Задачей Л. к., рассматриваемой как расширение «классической» логики высказываний (только о такой

ЛОГИКА КЛАССОВ 225

Л. к. и будет идти речь), является уточнение формы элементарного высказывания и соответствующие обоб­щения понятия «закона логики» (тождественно-истин­ной формулы) и правил логич. вывода следствий из данных посылок. Как и в логике высказываний, воп­рос о том, является ли данное заключение 3 логич. следствием из посылок Я₁₅ П₂,..., П_к, сводится к во­просу о том, является ли формула Л. к. вида (Р^(Р£Э... =)(Р_К=)Ф)...)) (где Р_1; Р₂,..., Р_я, Ф -логич. формы высказываний Я_х, #₂,..., П_к, 3) «законом Л. к.» или нет. Решение же последнего вопроса удает­ся свести к решению ряда аналогичных вопросов из логики высказываний, т. е. и в Л. к. разрешения проблема оказывается разрешимой: существует алго­ритм, позволяющий по форме выражения, записан­ного на «языке» Л. к., ответить «да» или «нет» на во­прос о том, является ли оно тождественно-истинной формулой («законом») Л. к. или нет.

Уточнение формы элементарного высказывания в Л. к. может производиться по-разному. В соответствии с задачами Л. к. оно должно содержать, однако, формы выражения слож­ных классов, построенных из к.-л. классов, принятых за элементарные. Это значит, что определению «формулы Л. к.» должно предшествовать определение «терма Л. к.». - Чтобы терм действительно мог служить выражением способа построения класса из элементарных классов, опре­делению терма, в свою очередь, должно предшествовать еще рассмотрение операцийс классами. Это рассмотре­ние выполняется содержательно — с использованием отно­шения элемента класса к самому классу (соответственно, предмета к его свойству), к-рое в Л. к. еще не выразимо. (В Л. к. вообще нет никаких предметов, отличных от «клас­сов». Но свойства операций с классами в ней уже выразимы). Осн. операциями обычно считаются: (1) пересечение классов а и р, т. е. класс (ofip), состоящий из всех тех и только тех элементов, к-рые содержатся в обоих классах аир; (2) объединение классов а и р, т. е. класс (a|J3)> состоящий из всех тех и только тех элементов, к-рые содержатся хотя бы в одном из классов а или р; (3) дополнение класса а, т. е. класс а', состоящий из всех тех и только тех элементов универс. класса, к-рые не содер­жатся в классе а.

Чтобы определить терм, остается еще расширить алфа­вит логики высказываний, добавив, напр., к нему: (1) к.-л. буквы а, Ь, с,... (идите же буквы с индексами), к-рых нет в алфавите логики высказываний, — переменные для классов, или «кл.-переменные», значениями к-рых могут быть классы (иногда добавляют еще и-знаки для постоянных: О—для пустого класса и 1— для универс. класса); (2) зна­ки: n.Ui '■ Определение терма может быть теперь таким: 1)кл.-переменная есть терм (если в алфавите есть 0 и 1, то они, по определению, также считаются термами), 2) если и и и термы, то (u(]v), (uUя) — также термы; если и — терм, то и' также терм.

Поиск по сайту: