Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Тема 10. Зв'язок між напруженістю і потенціялом



Фізичні поняття

· Градієнт даної скалярної величини це вектор, спря­мо­ва­ний у бік най­бі­льшого зростання цієї фізичної величини, модуль яко­го дорівнює відношенню зміни цієї фізичної величини до відстані в цьому напрямі найбільшого зростання, на якій відбулася ця зміна (позначення ):

 

 

· Еквіпотенціяльна поверхня –поверхня, у кожній точці якої потенціял одна­ковий.

 

Задачі

(39)Установимо зв'язок між напруженістю електростатичного поля та його потенціялом.

Згідно з означеннями потенціялу та роботи

 

 

де знак «–», який з’явився при заміні на вказує на те, що век­тор є протилежним до вектора зовнішньої сили (бо пробний заряд пози­тив­ний).

Знайдемо частинну похідну від за

 

 

Оскільки та отримаємо що

 

(1)

 

Аналогічно

 

, (2)

 

та

 

(3)

 

Але вектор як і будь-який інший, можна подати як лінійну комбіна­цію одиничних векторів

 

 

Взявши до уваги рівності (1), (2), (3), дістанемо

 

 

З цієї формули бачимо, що оскільки вектор спря­мо­ва­ний у бік найбільшого зростання потенціялу, то вектор – у бік його най­бі­льшого спадання.

 

(40) З формули зв’язку напруженості і потенціялу та теореми Остро­град­ського–Гауса отримаємо рівняння Пуассона.

Підставимо формулу зв’язку між напруженістю та потенціялом у формулу, яка виражає теорему Остроградського–Гауса в диферент­ція­льній формі Дістанемо

 

 

або

 

 

Оскільки операція дивергенції по­лягає в тому, що слід взяти по­хі­дні за і від компонентів вектора і додати їх, то остання рівність набуває вигляду

 

 

або скорочено

 

 

де – оператор Лапласа.

Остан­нє рівняння нази­ва­ють рі­внян­нями Пуассона. За умови це рів­нян­ня називають рівнян­ням Лапласа:

 

 

(41) Доведемо, що вектор напруженості електростатичного поля завжди нормальний до еквіпотенціяльної поверхні.

Виберемо систему координат так, щоб вектори та були до­тичні до екві­по­тен­ці­яльної поверхні (мал. 31). Тоді в цій точці дотику

 

і

 

(Пам’ятаємо, що похідна в будь-якій точ­ці – це кутовий коефіцієнт до­тичної в цій точці, а ос­кі­льки цей кутовий кое­фіцієнт до­рівнює нулеві, то і похідна дорівнює нуле­ві).

Тому, згідно з формулою зв’язку нап­руженості і потенціялу

 

 

що означає, що , тобто вектор нормальний до цієї поверхні.

 

(42) Доведемо теорему про середнє значення потенціялу: потен­ціял у будь-якій точці простору дорівнює середньому зна­чен­ню потенціялу на будь-якій уявній сфері з центром в цій точці, яка не охоплює електричних зарядів.

Напишемо формулу для середнього значення потенціялу на сфері

 

 

і знайдемо похідну від за радіусом сфери

 

 

Згідно з формулою зв’язку між напруженістю і потенціялом це проек­ція вектора напруженості на радіус , тому

 

 

а за теоремою Остроградського–Гауса, оскільки в області обмеженій сферою електричні заряди відсутні, останній вираз дорівнює нулеві. Отже,

 

що означає, що не за­лежить від радіуса сфери, тобто середнє зна­чення по­тенціялу однакове на всіх сферах, в тому числі і на сфері нескін­ченно ма­лого радіуса, яка збігається з заданою точкою.

 

(43) Пояснимо метод елек­тро­ста­ти­ч­но­го очищення газів.

 

Для очищення газів беруть ве­ли­ку металеву бочку з провідником у її центрі, який ізольований від самої бочки (мал. 32).

Цей провід пе­ре­буває під ви­со­кою негативною на­п­ру­гою. Оскі­ль­ки поблизу проводу висока нап­ру­же­ність поля (велика густота сило­вих ліній), то повітря йоні­зу­ється і потік елек­тро­нів та йонів елек­тризує частинки до­мі­шок, які є в за­бруд­не­ному газі, не­га­тив­ним заря­дом.

Ці негатив­но на­електризовані частинки почи­на­ють рухатися проти поля і прилипають до стінок. Тоді їх струшують на дно бочки.


 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.