Тема 10. Зв'язок між напруженістю і потенціялом

Фізичні поняття

· Градієнт даної скалярної величини –це вектор, спря­мо­ва­ний у бік най­бі­льшого зростання цієї фізичної величини, модуль яко­го дорівнює відношенню зміни цієї фізичної величини до відстані в цьому напрямі найбільшого зростання, на якій відбулася ця зміна (позначення ):

· Еквіпотенціяльна поверхня –поверхня, у кожній точці якої потенціял одна­ковий.

Задачі

(39)Установимо зв'язок між напруженістю електростатичного поля та його потенціялом.

Згідно з означеннями потенціялу та роботи

де знак «–», який з’явився при заміні на вказує на те, що век­тор є протилежним до вектора зовнішньої сили (бо пробний заряд пози­тив­ний).

Знайдемо частинну похідну від за

Оскільки та отримаємо що

(1)

Аналогічно

, (2)

та

(3)

Але вектор як і будь-який інший, можна подати як лінійну комбіна­цію одиничних векторів

Взявши до уваги рівності (1), (2), (3), дістанемо

З цієї формули бачимо, що оскільки вектор спря­мо­ва­ний у бік найбільшого зростання потенціялу, то вектор – у бік його най­бі­льшого спадання.

(40) З формули зв’язку напруженості і потенціялу та теореми Остро­град­ського–Гауса отримаємо рівняння Пуассона.

Підставимо формулу зв’язку між напруженістю та потенціялом у формулу, яка виражає теорему Остроградського–Гауса в диферент­ція­льній формі Дістанемо

або

Оскільки операція дивергенції по­лягає в тому, що слід взяти по­хі­дні за і від компонентів вектора і додати їх, то остання рівність набуває вигляду

або скорочено

де – оператор Лапласа.

Остан­нє рівняння нази­ва­ють рі­внян­нями Пуассона. За умови це рів­нян­ня називають рівнян­ням Лапласа:

(41) Доведемо, що вектор напруженості електростатичного поля завжди нормальний до еквіпотенціяльної поверхні.

Виберемо систему координат так, щоб вектори та були до­тичні до екві­по­тен­ці­яльної поверхні (мал. 31). Тоді в цій точці дотику

і

(Пам’ятаємо, що похідна в будь-якій точ­ці – це кутовий коефіцієнт до­тичної в цій точці, а ос­кі­льки цей кутовий кое­фіцієнт до­рівнює нулеві, то і похідна дорівнює нуле­ві).

Тому, згідно з формулою зв’язку нап­руженості і потенціялу

що означає, що , тобто вектор нормальний до цієї поверхні.

(42) Доведемо теорему про середнє значення потенціялу: потен­ціял у будь-якій точці простору дорівнює середньому зна­чен­ню потенціялу на будь-якій уявній сфері з центром в цій точці, яка не охоплює електричних зарядів.

Напишемо формулу для середнього значення потенціялу на сфері

і знайдемо похідну від за радіусом сфери

Згідно з формулою зв’язку між напруженістю і потенціялом це проек­ція вектора напруженості на радіус , тому

а за теоремою Остроградського–Гауса, оскільки в області обмеженій сферою електричні заряди відсутні, останній вираз дорівнює нулеві. Отже,

що означає, що не за­лежить від радіуса сфери, тобто середнє зна­чення по­тенціялу однакове на всіх сферах, в тому числі і на сфері нескін­ченно ма­лого радіуса, яка збігається з заданою точкою.

(43) Пояснимо метод елек­тро­ста­ти­ч­но­го очищення газів.

Для очищення газів беруть ве­ли­ку металеву бочку з провідником у її центрі, який ізольований від самої бочки (мал. 32).

Цей провід пе­ре­буває під ви­со­кою негативною на­п­ру­гою. Оскі­ль­ки поблизу проводу висока нап­ру­же­ність поля (велика густота сило­вих ліній), то повітря йоні­зу­ється і потік елек­тро­нів та йонів елек­тризує частинки до­мі­шок, які є в за­бруд­не­ному газі, не­га­тив­ним заря­дом.

Ці негатив­но на­електризовані частинки почи­на­ють рухатися проти поля і прилипають до стінок. Тоді їх струшують на дно бочки.

Поиск по сайту: