Тема 6. Потік електричної індукції

Теорема Остроградського –Гауса

Фізичні величини

· Електрична індукція –це вектор

· Потік електричної індукції однорід­ного електричного поля через плоску по­верхню –це скалярний добуток вектора електричної індук­ції на площу цієї поверхні (позначення )

де , де – одиничний вектор нор­ма­лі до поверхні (мал. 14).

Аналогічно озна­ча­ється потік напруже­но­сті електричного поля.

Задачі

(19) На основі означення потоку елек­т­ричної індукції одно­рідного по­ля через плоску по­верхню виведемо формулу для потоку електрич­ної ін­дукції будь-якого поля через будь яку поверхню.

Розділимо цю поверхню на ве­ли­ку кі­ль­кість нескінченно малих по­вер­хонь пло­щею які, оче­вид­но, мож­на вва­жа­ти плоскими (мал. 15).

Крім того, в межах цієї поверхні поле мож­на вважати одно­рідним. Таким чином до цієї нес­кін­ченно малої по­верхні можна засто­сувати озна­чен­ня потоку одно­рід­ного поля через плос­ку поверх­ню

Очевидно, що потік через всю по­вер­х­ню буде дорівнювати сумі по­то­ків через всі поверхні площею Тому

З цього виведення випливає та­кож ви­сновок про те, що потоки можна до­да­ва­ти, тобто оскільки площа поверхні дорівнює су­мі площ скла­до­вих поверхонь, то потік через цю по­верхню дорівнює су­мі потоків через ці скла­дові поверхні: (мал. 16).

(20) Доведемо, що потік індукції електричного по­ля через певну по­верхню пропорційний до кількості силових ліній, які її пронизують.

Для доведення скористаємось тим фактом, що величина вектора електричної індукції пропорційна до густоти силових ліній (задача 8), тоб­то

Згідно з означенням потоку, пропорційністю між і та озна­ченням густоти силових ліній, маємо:

Отже,

що означає, що кількість силових ліній, які пронизують цю поверхню, вказує на величину потоку електричної індукції через неї. Згадаймо, що в гід­ро­аеро­динаміці є подібна ситуація: густота ліній потоку вка­зує на швидкість пото­ку, а кількість ліній потоку – на величину пото­ку, яка дорівнює об’єму рідини чи газу, що перетинає певний переріз за одиницю часу.

(21) Доведемо теорему Остроградського–Гауса: потік елек­т­рич­ної ін­дук­ції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює заряду, який є в об’ємі, обмеженому цією поверхнею, тобто

(1)

Поиск по сайту: