Тема 7. Обчислення напруженостей електричних полів на основі теореми Остроградського–Гауса

Задачі

(23) На основі теореми Остроградського–Гауса встановимо ви­раз для нап­ру­женості електричного поля точкового заряду.

Охопимо заряд уявною сфе­рич­ною по­верхнею, яка проходить че­рез точку, в якій ми шукаємо напру­же­ні­сть поля. Знайдемо потік електрич­ної індукції через цю поверхню.

Згідно з теоремою Остро­град­ського–Гау­са, прирівняємо отрима­ний результат до ве­ли­чини заряду

звідки

А для вектора

(24)На основі теореми Остроградського–Гауса встановимо вираз для напру­же­ності електричного поля рівномірно заряд­же­ної площини з поверхневою густиною заряду

Спочатку встановимо нап­рям век­то­ра в довільній за­да­ній точці про­стору, тобто з’ясуємо картину силових ліній по­ля. Згідно з принципом суперпозиції еле­ктричних полів, вектор буде ре­зу­ль­та­том додавання усіх векторів ство­ре­них нескінченно малими ділян­ка­ми пло­щини. Оскільки площина нескін­чен­на, то для будь-якого електрич­ного заряду знайдеться симетричний, який дає проти­лежну про­екцію на гори­зон­та­льну вісь (мал. 20). Отже, всі горизон­та­льні проекції будуть скомпенсовані, зали­шаться тільки верти­каль­ні, що озна­чає, що лінії індукції елек­трич­но­го поля це прямі паралельні до пло­щини.

Охопимо частину площини па­ра­ле­ле­пі­педом, поверхня якого прохо­дить через за­дану точку (мал. 21) і знайдемо потік через його поверхню. Оче­вид­но, що потоки через грані, нормальні до площини, до­рів­ню­ють нулеві, бо кут між вектором і нор­мал­лю до поверх­ні па­ралелепіпе­да дорівнює Зали­ша­ються потоки через грані, па­ра­лельні до площи­ни. Згідно з те­о­ре­мою Ос­троградського–Гауса, вра­хо­ву­ю­чи, що поле однорідне всюди на грані, маємо:

звідки:

і

Зауважте, що напруженість поля нескін­ченної площини – це ста­ла вели­чина, яка не залежить від відстані від площини. Якщо пло­щи­на обмежена, то очевидно ця формула правильна тільки для точок розміщених дуже близько до неї.

(25) На основі теореми Остроградського–Гауса встановимо вираз для напруженості електричного поля на по­верхні зарядже­но­го провід­ни­ка.

Для розв’язання цієї задачі скори­ста­ємося тим фактом, що електричне поле всередині провідника відсутнє (надалі ми поставимо перед собою задачу довести це).

Очевидно, що для всіх точок, які лежать дуже близько до поверхні про­від­ника, провідник можна вва­жати нескін­ченною площи­ною, якої б форми він не був. Отже, задача зводиться до попередньої з тією різницею, що поле існує лише поза провідником (мал. 21).

За теоремою Остро­гра­дського–Гауса

звідки

(26)На основі теореми Остро­градського–Гауса встанови­мо вираз для напру­женості електричного поля рівно­мір­но зарядженої нескінченно довгої прямої нитки з лі­ній­ною густиною заряду

З міркувань симетрії, подібних до мірку­вань щодо поля не скін­ченної площини, знахо­димо, що вектор електричної індукції у будь-якій точці є нор­мальним до нитки (мал. 22, а, б). Охопимо частину нитки уявним циліндром по­верхня якого проходить че­рез точ­ку в якій ми шу­каємо напру­же­ність поля.

Знайдемо потік електрич­ної ін­дукції через цей циліндр. З малюн­ка видно, що потік через основи ци­лін­дра дорів­нює ну­леві, бо кут між век­то­рами і прямий.

Потік через бічну поверхню

Всередині циліндра знахо­дить­ся заряд

тому за теоремою Остроград­сь­ко­го–Гауса

звідки

,

і

(27)На основі теореми Остроградського-Гауса встановимо вираз для напру­же­ності електричного поля рівномірно зарядженої сфери.

З міркувань симетрії робимо висновок, що век­тор в кожній точці простору за сферою спря­мо­ва­ний радіально.

Нехай на сфері є сумарний заряд . Охо­пи­мо заряджену сферу ще однією сфе­рою, яка про­хо­дить через задану точку (мал. 23). Згідно з тео­ре­мою Острог­рад­ського–Га­уса:

Бачимо, що напруженість поля сфери з зарядом така ж, як і нап­ру­же­ність поля точкового заряду поміщеного в центрі цієї сфери.

(28) На основі теореми Остроградського–Гауса встановимо вираз для напруженості електричного поля рівно­мірно зарядженого не скін­чено довгого циліндра.

Охопимо заряджений циліндр ще одним уявним циліндром, проте таким, який про­хо­дить через точку, в якій ми шукаємо напру­же­ність поля. З тих же міркувань, що і для поля нитки, робимо висновок, що лінії напруженості є прямі нормальні до бічної поверхні циліндра (мал. 24, а, б).

Оскільки всюди на поверхні уявного ци­ліндра поле однакове за величиною і спря­мо­ване вздовж нормалі до циліндра, то потік ма­ти­ме найпростіший вигляд і згідно з теоремою Остроградського–Гауса

або

де – заряд, який є всередині уяв­ного ци­лін­дра, – поверхнева гус­тина заряду на ци­лін­дрі, – площа бічної поверхні ре­ального ци­ліндра.

З малюнка бачимо, що потік че­рез ос­нови циліндра дорівнює ну­ле­ві, тому ос­тання формула набуває вигляду:

звідки

(29) Доведемо, що в об’ємі, обмеженому заряд­женою поверхнею, напру­же­ність елек­трич­ного поля дорів­нює нулеві.

Проведемо всередині поверхні уявну по­верхню нескінченно близько до заряд­женої поверхні (мал. 25). У цьому об’ємі немає заря­дів, тому згідно з тео­ремою Ос­тро­град­сь­кого–Гауса

звідки:

і

(30) З’ясуємо, для розрахунку яких елек­тричних полів можна ефективно застосовувати теорему Остроградського–Гауса.

По-перше, очевидним є те, що нам має бути відома графічна картина силових ліній цього поля.

По-друге, оскільки індукція (чи напруженість) електричного поля входить у вираз для потоку, то в загальному випадку вона є під знаком виз­на­че­ного інтеграла в підінтегральному виразі. Для того, щоб проінтегрувати, слід встановити залежності всіх величин (букв) підінтегрального виразу від змінної інтегрування і винести за знак інтеграла ті величини, які від неї не залежать. Стосовно вектора електричної індукції, це означає, що якщо він залежить від змінної інтегрування то, встановивши цю залежність, ми втратимо цю величину (букву , а щоб вона збереглася у виразі потоку, то має бути незалежною від змінної інтегрування . Таким чином, робимо висновок, що теорему Остроградського–Гауса варто застосовувати до тих полів, для яких ми можемо віднайти таку уявну замкнену поверхню, на якій величина є всюди однакова.

Поиск по сайту: