Тема 14. Електроємність

Фізичні величини

· Електроємність відокремленого про­відника –це відношення зміни заряду про­відника до зміни його потенціялу, яка спри­чинена цією зміною заряду (позначен­ня С).

(1)

Якщо провідник був незаряджений, то його ємність очевидно о­зна­чається так

(2)

Фізичні системи й прилади

· Конденсатор –система двох електрично ізольованих один від одного про­від­ників.

Задачі

(59) Покажемо, що потенціял відокрем­ле­ного провідника про­пор­ційний до його заряду.

Відомо, що будь-який про­відник, заряджений чи ні, є екві­по­тен­ціяльний, що означає, що потенціял у всіх його точках од­наковий (задача 46). Крім то­го відомо, що заряд розміщується ли­ше на поверхні про­від­ника (задача 44).

На основі принципу дода­вання по­тен­ціялів, потенціял у будь-якій точці провід­ника буде дорівнювати сумі по­тенціялів, створених еле­мен­тами заряду :

де – поверхнева густина заряду на провіднику, – площа поверхні про­відника.

Але поверхнева густина заряду пропорційна до величини заряду , тобто або , де – коефіцієнт, який не обов’язково є сталим, а може і залежати від . Тому

Оскільки вираз – це чис­ло, то

(60) Покажемо: якщо поблизу про­від­ни­ка розмістити ін­ший про­відник, то його єм­ність збільшиться.

На мал. 43, (а) показано відо­кремлений заряджений про­відник і його поле. Якщо по­близу цього провідника розмістити інший не­заряджений про­відник, то внаслідок виник­нен­ня на ньому інду­ко­ваного заряду поле між про­відниками підсилюється, а за ними по­слаб­лю­ється, тому заряд на першому про­віднику пере­роз­по­ді­ли­ть­ся (мал. 43, (б)). Щодо по­тен­ціялу в будь-якій точці пер­шого провід­ника (пам’я­таємо, що він всюди одна­ковий), то бачимо, що згідно з прин­ци­пом додавання потен­ці­я­лів, його ал­ге­браїчна сума зменшиться і єм­ні­сть згід­но з її означенням зросте. Очевидно, що цей ефект збільшення єм­ності провідника під впливом іншого про­відника буде тим бі­ль­ший, що ближче будуть один до од­но­го ці провідники і що більші їхні площі будуть розта­шо­вані од­ні навпроти од­них. Оскільки така система двох про­від­ників – це кон­ден­сатор, то ба­чимо, що ємність конденсатора може бу­ти знач­но більшою за ємність ві­до­крем­леного провідника.

(61)Установимо вираз для електроємності провідної кулі та сфери і об­чи­слимо ємність Землі.

Якщо кулі надати заряду , то її потенціял буде , причому він буде од­наковий в усіх точках кулі (задача 45). Найлегше нам знайти потенціял у центрі кулі. Оскільки заряд розміститься на поверхні кулі (задача 44), то потенціял у її центрі створюється зарядом її поверхні. Кожен елементарний заряд по­вер­хні створює у центрі кулі потенціял , де – ра­діус кулі, а весь заряд кулі ство­рює потенціял

Згідно з означенням ємності

Щодо сфери, то заряд на сфері розміститься так само, як і на кулі і потенціял всередині сфери буде такий самий, як і всередині кулі, тому ємність сфери така ж, як і ємність кулі такого ж радіуса.

Якщо сфера заповнена діелектриком з діелектричною про­ник­ні­стю , то очевидно її ємність:

За цією формулою ємність Земної кулі

Тема 15. Конденсатори

Задачі

(62)Установимо вираз для ємності плоского кон­ден­са­тора.

Згідно з означенням ємності

де – різниця потенціалів між обкладками кон­ден­сатора (мал.. 44), яка за формулою зв’язку між нап­руженістю і потенціялом може бути пред­став­лена як Своєю чергою напруженість елек­три­чного поля між об­кладками конденсатора до­рівнює як напруженість поля двох нескін­чен­них пло­щин. Отже

де – площа однієї з обкладок.

(63) Установимо вираз для єм­ності ци­лін­дричного кон­денсатора дов­жи­на якого значно бі­льша за радіуси ци­лін­дрів.

Спочатку встановимо ви­раз для по­тен­ціялу будь-якої точки між двома ци­лін­дра­ми (мал. 45). Для цього встановимо вираз для на­пру­женості поля. Напру­же­ні­сть по­ля в цій точ­ці, створена зов­нішнім цилін­дром згідно з теоремою Остро­град­сь­ко­го–Гау­са до­рів­нює нулеві, бо потік на­пру­же­но­сті електричного поля зов­ніш­нього ци­лін­дра дорівнює нулеві то­му, що під цією по­вер­х­нею немає елек­три­чних зарядів. У ре­зуль­та­ті напру­же­ні­сть поля між циліндрами – це на­пруже­ні­сть, ство­рена внутрішнім ци­лін­дром, і за тією ж теоремою Ост­роградського –Гауса (за­дача 28)

З формули зв’язку напруженості і потенціялу знайдемо потенціял у цій же точці:

звідки

Сталу інтегрування К знайдемо з умови тоб­то приймаємо потенціял одного з циліндрів, а саме зовнішнього за нуль. Після підстановки маємо і вираз для потенціялу набирає вигляду:

звідки потенціял зовнішнього циліндра щодо внутрішнього:

Тепер можемо написати і вираз для ємності:

Очевидно, що ця формула правильна і для коаксіального кабеля.

Розглянемо випадок коли відстань між циліндрами значно менша за їхні радіуси.

Скориставшись з наближеної формули для обчислення лога­ритма, а саме, що за близьких значень і : ма­ти­мемо

Врахувавши те, що це площа однієї з обкладок і остаточно маємо:

як і для плоского конденсатора.

(64)Доведемо, що за паралельного з’єд­нання двох чи більше кон­ден­са­торів ємність цієї ділянки кола дорівнює сумі єм­ностей окремих кон­денсато­рів.

Будемо розглядати цю ді­лянку кола як один великий кон­денсатор з двома ізольова­ни­ми один від одного про­від­ни­ка­ми А і В (ці про­відники обведені на мал. 46 замкнутими штрихо­ва­ними лініями).

Згідно з означенням ємно­сті, єм­ні­сть цього конденсатора:

де – заряд на одній з обкладок цього вели­кого конденсатора, – різниця потен­ція­лів між його обкладками. Вра­ховуючи оче­видні факти, що і діста­не­мо:

За більшої кількості конден­саторів нічого не зміниться, тому

(65)Покажемо, що ємність конденсатора будь-якої форми за умо­ви, що від­стань між його обкладками є знач­но меншою за їхні розміри, дорівнює ємності плоского конденсатора з такою ж площею обкладок і відстанню між ними.

Уявімо конденсатор будь-якої форми як систему паралельно з’єд­на­них плоских еле­мен­тарних конден­сато­рів з площею обкладок (мал. 47). Оскільки відстань між об­клад­ками ма­ла, поле в межах одного еле­мен­тар­ного кон­ден­сатора мож­на вважати однорід­ним. Тому єм­ні­сть кожного елементар­ного кон­денсатора – це ємність плоского кон­ден­сатора

За паралельного з’єднання ємності до­да­ються, тому

(66)Доведемо, що за послідовного з’єднання двох чи більше кон­ден­са­то­рів обернена ємність цієї ділянки кола дорівнює сумі обернених єм­ностей окремих конденсаторів.

Якщо в цьому випадку одному кон­денсатору надати заряду , то та­кий са­мий за­ряд буде індукований на всіх кон­ден­са­торах (мал. 48). Ба­та­рею послідовно з’єд­наних кон­ден­са­то­рів розглядатимемо як один кон­ден­сатор із зарядами обкладок та (поля зарядів усіх інших обкла­док ком­пен­су­ють одне одного).

За означенням ємності, єм­ні­сть бата­реї

За тим самим озна­ченням ємності

і тоді

звідки маємо

(67)Установимо вираз для ємності двохпровідної лінії, тобто сис­теми двох паралельних проводів довжиною радіусами відстань між осями яких причому розглянемо прак­тичний випадок коли .

Спочатку знайдемо вираз для напруженості електричного поля, ство­ре­ного одним з проводів у будь-якій точці на прямій, що з’єднує два проводи, що на від­стані х від одного з них (мал. 49). Для цього скористаємося виразом для напруженості поля рівномірно заряд­женого циліндра (за­дача 27) (зауважимо, що практична рівно­мір­ність розподілу заряду на проводі забез­пе­чується умовою ), яка в нашому випадку буде мати вигляд:

Підставивши в ос­танню рівність вираз для по­вер­х­не­вої густи­ни заряду на циліндрі де – висота ци­ліндра, а в нашому ви­падку до­віль­на довжина ділянки двохпровідної лінії, дістанемо

Другий провід, очевидно, створює у цій точці напруженість поля

Тому сумарна напруженість поля в цій точці

Підставивши у цей вираз дістанемо

звідки інтегруванням установимо залежність потенціялу від відстані :

Сталу К знайдемо з умови що означає, що за нуль по­тен­ці­ялу приймемо потенціял на поверхні одного з проводів. Діста­немо а після підстановки цього виразу в отриману залежність :

Маючи цю залежність можемо визначити потенціял на по­вер­хні другого проводу, тобто потенціял за умови

Оскільки потенціял першого проводу ми прийняли за нуль, то ця величина є різницею потенціалів між проводами, тому згідно з озна­ченням ємності

Ємність, що припадає на одиницю довжини лінії

(68)Установимо вираз для ємності од­но­провідної лінії дов­жи­ною і ра­ді­у­сом проводу що знаходиться на висоті над землею.

Застосуємо метод дзеркальних зобра­жень. Згідно з цим методом, електричне по­ле, створене зарядженим проводом та інду­кованим зарядом на поверхні землі, співпа­дає з електричним полем, створеним двома про­во­дами з однаковими за вели­чиною та проти­лежними за знаками зарядами (мал. 50).

Тому застосуємо вираз для різниці по­тенціялів між двома проводами (задача 67):

Але нас цікавить різниця потен­ці­ялів між проводом та землею і вона, очевид­но, дорівнює половині різниці потенція­лів між проводом і його зображенням. Тоді, враху­вавши це за означенням єм­но­сті,

Ємність одиниці довжини проводу:

Поиск по сайту: