Тема 4. Принцип суперпозиції електричних полів

Постулати

Ø Принцип суперпозиції електричних полів: система точкових за­ря­дів створює у кожній точці простору поле, на­пру­же­ність якого дорівнює сумі напруженостей, створених кожним із цих зарядів

Задачі

(10) Вкажемо на метод знаходження напруженості електричного по­ля за­ряд­же­ного тіла, яке не можна вважати точковим зарядом.

Будь-яке заряджене тіло представимо як систему нескінченної кількості нескінченно близьких один до одного, нескінченно малих точкових зарядів величиною Очевидно, що кожен з цих зарядів буде створювати в певній точці простору нескінченно мале елек­тричне поле напруженістю:

Згідно з принципом суперпозиції, напруженість електричного по­ля у цій точці буде дорівнювати сумі згаданих напруженостей. Оче­видно, що ми має­мо справу з сумою нескінченної кількості нескін­ченно малих величин. А це є не що інше, як інтеграл. Отже,

З цієї формули бачимо, що інтегрування слід провести по всьому заряду тіла, що важко зробити практично. Тому від інтегрування за зарядом пе­рей­демо до інтегрування за об’ємом. Для цього застосуємо поняття об’ємної густини заряду Дістанемо

тобто, принципово ми можемо об­чис­лити напруженість поля, ство­рену будь яким зарядженим тілом.

(11) Установимо вираз для напру­же­ності елек­тричного поля рів­но­мір­но зарядженого кіль­ця ра­діусом і лінійною гус­тиною заряду на осі кільця на відстані від його центру.

Згідно з принципом суперпозиції Розкладемо вектор на дві скла­дові (мал. 6):

Тоді:

З малюнка бачимо, що для кожного век­тора знайдеться до нього проти­лежний і таким чином сума всіх х–ових складових век­тора дорівнює нулеві, тоб­то

Задача спростилася і

Як ви­дно з малюнка

тому

Враховуючи, що де – еле­мент довжини кільця, маємо

Отже, інтегрування буде йти по всій довжині кільця ( у нас вод­но­час змінна інтегрування і довжина кільця).

Щоб обчислити цей інтеграл, слід кожну величину у під­ін­те­гра­льному виразі подати через змінну інтегрування або винести за знак інтеграла, якщо вона не залежить від . Що і зробимо:

Представимо тепер всі ці величини через відомі

І для вектора

Остання рівність говорить про те, що шукана нами напруженість елек­тричного поля – це вектор, спрямований вздовж осі у, величина якого

або оскільки кільце рівномірно заряджене, замінивши отри­ма­ємо

(12)Знайдемо вираз для напруженості поля рівномірно заряд­же­ного по­верхневою густиною заряду диска радіусом на осі диска на від­стані від його центра.

Розділимо диск на нескінченну кіль­кі­сть кілець і скористаємося ре­зуль­татом по­перед­ньої задачі. Одне з таких кілець тов­щиною і радіусом показано на мал. 7. Ос­кі­ль­ки його товщина нес­кінченно мала, то на ньому розміщений не­скін­ченно малий заряд . Тому напруженість по­ля, яку воно ство­рює в точці на осі кільця, згідно з резуль­татом попередньої задачі, є

Зверніть увагу, що замість сталого раді­уса кі­льця підставлено ра­діус будь-яко­го кільця ( тепер у нас є радіусом дис­ка).

Виразимо через поверхне­ву густину заряду. Дістанемо

де – площа виділеного нескінченно малого кільця. Очевидно, що тому маємо

Інтегруємо

Остаточно,

(13) Знайдемо середнє значення напруженості електричного поля точко­вого заряду в межах майданчика у вигляді диска, якщо заряд є на осі цього диска.

Математичний відступ: середнє значення функції.

Нам слід обчислити середнє зна­чен­ня функції на проміжку [a, b]. Очевидно, що наближено це можна зробити, роз­ді­ливши цей проміжок на п проміжків ши­риною (мал. 8). Тоді

або представивши

При (при цьому ) сума переходить в інтеграл і ді­стаємо точну формулу

Повернемося до нашої за­дачі (мал. 9). З міркувань симетрії мо­же­мо зро­бити висновок, що середнє значення напруженості поля вздовж будь-якого радіуса диска однакове і тому дорівнює середньому зна­ченню на всьому дис­ку. Отже, нам досить обчис­лити середнє зна­чен­ня вздовж будь-якого радіуса

Остаточно,

Тема 5. Диполь

Фізичні поняття

· Плече диполя –вектор, проведений від негативного заряду диполя до по­зи­тив­но­го (по­зна­чення ).

· Жорсткий диполь –диполь, плече якого залишається сталим.

· Точковий диполь –диполь, плече якого значно менше за відстань від диполя до точки спостереження.

Фізичні величини

· Дипольний момент –це добуток одного із зарядів диполя на його плече (позначення )

Фізичні системи й прилади

· Диполь –це система двох однакових за величиною та про­ти­лежних за знаком точкових зарядів.

Задачі

(14) Установимо, який стан займе віль­ний ди­поль, який потрапив в од­норідне електричне поле.

Під вільним диполем очевидно ро­зу­міє­мо вільне тіло, тобто тіло, на яке не діють жодні сили.

На кожен із зарядів ди­поля діє си­ла ве­ли­чиною Напрями цих сил про­ти­лежні. Оскільки диполь жор­сткий, то ці си­ли спричиняють виник­нення мо­мен­ту пари сил:

величина якого

де – кут між векторами і З мал. 10 ба­чимо, що диполь поверта­ти­меть­ся доти, доки кут не дорівнюватиме нулеві, тобто диполь розташується так, що його дипольний момент буде паралельний до вектора Після цього на заряд буде діяти сила величиною в напрямку силових ліній, а на за­ряд – така ж сила проти силових ліній, тобто поле буде намагатися розірвати диполь (тоді як рів­но­дій­на сила на диполь загалом дорівнює нулеві, що означає, що диполь буде в стані спокою).

(15)Установимо вираз для напруженості електричного поля точ­кового диполя з плечем в точці на відстані від середини плеча диполя, яку видно під кутом до плеча диполя.

Згідно з принципом суперпозиції електричних полів (мал. 11)

(1)

де – напруженість поля в певній точці, ство­рена зарядом – напру­женість по­ля в цій же точці створена зарядом

З мал. 11 бачимо, що згідно з фор­мулою напру­женості точко­во­го за­ря­ду

(2)

де знак «–» вказує на те, що від­по­від­ний заряд негатив­ний і век­тори і є про­тилежно нап­рямлені.

Виразимо вектори і через і .

(3)

а також довжини векторів і через довжини векторів і (враховуючи, що ):

звідки

(4)

Повертаючись до рівності (1) і підставляючи в неї (2), (3) і (4), мати­мемо

Піднявши вирази в знаменниках до кубу й знехтувавши до­дан­ками, які містять малі порівняно з одиницею величини та дістанемо:

Звівши до спільного знаменника, який буде , ді­ста­не­мо

Після перетворень і врахувавши, що

або, врахувавши, що

(4)

Знайдемо ще вираз для модуля вектора .

Після перетворення дістанемо

(5)

Формули (4) і (5) задають напрям і величину вектора в будь-якій точці простору.

(16) Покажемо, що в неоднорідному елек­трич­ному полі вільний диполь не буде в стані спокою (на відміну від випадку одно­рід­ного поля, де диполь є в стані спокою), а рухатиметься в напрямі зростання поля.

Очевидно, що як тільки диполь по­тра­пить в елек­т­ричне поле, він розта­шується вздовж од­нієї із його сило­вих ліній так, що його ди­по­льний момент буде пара­лельний до неї (мал. 12).

Біля заряду напруженість електрич­но­го поля більша, ніж біля заряду , бо там біль­ша густота силових ліній. Тому рівно­дій­на си­ла

де – зміна напруженості поля на від­стані . Представимо цю зміну так: де – дуже мала зміна ве­ли­чини вектора яка від­бувається на малій відстані Тоді взявши до уваги, що має­мо

Отже, рівнодійна сила, яка діє на диполь, не дорівнює нулеві, і диполь буде рухатися у напрямку зростання поля.

(17)Пояснимо явище притягання дрібних частинок до на­елек­три­зо­ва­них тіл.

Наприклад, це можуть бути шматочки паперу, які притягаються до наелектризованої пластмасової кулькової ручки або пил до екрана телевізора.

В електричному полі наелектризованого тіла маленькі частинки стають диполями (поляризуються), а оскільки це поле неоднорідне, то як ми вже з’ясували, то вони рухаються у бік його зростання, тобто до тіла.

(18) Пояснимо принцип роботи йонного мік­роскопа.

У камері (мал. 13) створюють ви­сокий вакуум, а між зразком і стінкою камери прикладають високу напругу. По­тім в камеру за­пус­кають атоми гелію чи неону. У си­ль­но­му електричному по­лі ато­ми ста­ють диполями і внаслідок неодно­рідності цього поля рухаються в бік його зро­стан­ня, тобто до зразка. Біля поверхні зразка поле стає настільки си­льним, що воно йонізує атом, відірвавши від ньо­го елек­т­рон. Позитивні йони гелію (чи неону) руха­ються до екрана даючи на ньому зо­б­ра­ження зразка.

Поиск по сайту: