 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Общий обзор литературы по М. 3 страница
Лит.: Рубашевский А. А., Филос. значение теоретич. наследства И. В. Мичурина, М., 1949; Д о б-рохвалов В. П., Филос. и естественнонауч. предпосылки учения И. В. Мичурина, М., 1954; Ф е й г и-н с о н Н. И., Осн. вопросы мичуринской генетики, М., 1955; Платонов Г. В., Принцип детерминизма в М. у., «Изв. АН СССР. Сер. биологич.», 1956, № 3; е г о ж е, Атеистич. значение учения И. В. Мичурина, в сб.: Естествознание и религия, М., 1956; его же, М. у. и дарвинизм, в сб.: Филос. вопр. естествознания, т. 1. Филос.-теоретич. вопросы М. у., М., 1958; Фурман А., М. у. о закономерностях развития органич. мира, М., 1957; его же, Возникновение и формирование диа-лектич. концепции развития в биологии, М., 1961; Л ы-с е н к о Т. Д., Дарвинизм живет и развивается, в сб.: Дарвинизм живет и развивается. Труды Юбилейной конференции, посвященной 100-летию опубликования «Происхождения видов» Ч. Дарвина и 150-летию опубликования «Философии зоологии» Ж. Ламарка<19—21 ноября 1959 г.), М., 1960; Очерк диалектики живой природы, М., 1963; Стол еГ-т о в В. Н., Условия жизни и развитие организмов, «Вопр. философии», 19JS4, № 10. МИЯКЭ СЭЦУРЭИ(наст, имя —Ю д з и р о) (1860— 1945) — япон. философ, идеалист и мистик, пользовался популярностью в среде националистич. бурж. и мелкобурж. интеллигенции. Соч.: Тэцугаку но ханъи рондзу (Рассуждения о пределах философии), Токио, 1888; Тэцугаку кэтэки (Крупицы философии), Токио, 1889; Ронригаку (Логика), Токио, 1889; Гакан сёкэй (Маленький набросок моих воззрений), Токио, 1892; Утю (Вселенная), Токио, 1908; Тодзай но сэйдзи то сюке (Наука Востока и Запада), Токио, 1911, Токио, 1914; Тодзай тэцугаку кай но кайко (Политика и религия Востока и Запада), Токио, 1915—19; Мэйдзи тэцугаку кай но кайко (Ретроспективный взгляд на философский мир времени Мэйдзи), Токио, 1932. Лит.: Сак исака Ицуро (ред.-составитель), Современные японские мыслители, пер. с япон., М., 1958; Фунаяма Синъити, Мэйдзи тэцугакуси кэнкю (Изучение истории философии времени Мэйдзи), Токио, 1959. МЛАДОГЕГЕЛЬЯНСТВО(левогегельян-с т в о) — идеалистич. направление в нем. философии 30—40-х гг. 19 в. См. Гегельянство. МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА—область совр. логики, охватывающая логич. исчисления (исчисления высказываний и предикатов), в к-рых высказываниям приписывается любое конечное (большее, чем 2) или бесконечное множество значений истинности. В М. л. исследуются также свойства этих исчислений (независимость осн. функций, полнота и т. п.) и отношения между ними. Оставаясь в рамках принципа двузначности (согласно к-рому каждое высказывание либо истинно, либо ложно), логики сталкивались с затруднениями при оценке значений истинности высказываний о переходных состояниях, модальных высказываний, высказываний, в к-рых не указано время или место события, и т. д. Однако эти затруднения смогли сыграть роль стимулов к построению многозначных логич. систем лишь после разработки совр. методики логич. исследования в рамках математической логики. Существенную роль в развитии М. л. сыграла интуиционистская критика классической логики (см. Интуиционизм). Исторически первой системой М. л. является трехзначное исчисление высказываний Лукасевича (1920). Исходя из анализа свойств и взаимоотношений модальных высказываний (см. Модальная логика), Лукасе-вич пришел к выводу, что здесь нужна логика, в к-рой, помимо обычных значений истинности («истинно», «ложно»), фигурирует от треть значение («возможно»). Независимо от Лукасевича построил систему М. л. Э. Пост (1921). В отличие от Лукасевича, Пост при разработке своей системы М. л. исходил из чисто формальных соображений", он просто допустил, что число значений истинности высказываний может быть большим, чем 2, и исследовал вытекающие из этой гипотезы последствия для логики высказываний.
Функции трехзначной логики Лукасевича, соответствующие дизъюнкции и конъюнкции двузначной логики (обозначаемые через А и К), определяются так: (3) Аху = тях (х, у) (т. е. значение истинности дизъюнкции х и у равно большему из значений истинности х и у); (^)Кху = тш(х, у) (т.е. значение истинности конъюнкции х и у равно меньшему из значений истинности х ж у). Функции А и К можно определить через TV и С, соответственно, как С Сху у и NCCNxNyNy [или в др. символике (см. Логика высказываний): ({x7Dy)ZDy) и ]((>3»31г/)]. В свою очередь функцию С можно определить через N и А или через Л' и К. Но в логике трехзначная система Лукасевича известна как система с осн. функциями N и С. Высказывания, принимающие значение 1 при любых значениях истинности образующих их высказываний (аргументов), рассматриваются в качестве законов трехзначной логики Лукасевича (или тавтологий, или всегда истинных высказываний). Таковы, напр., высказывания CNNxx и CxNNx. Законы: исключенного третьего, AxNx, и противоречия, NKxNx, двузначной логики в трехзначной системе Лукасевича законами не являются, т. к. при х=1/2 они имеют значение истинности V. (АУ2№/2=АЧ21/2=1/2; NK4^/2=NKytVt=mit= V2). Не являются в ней законами и их отрицания, т. к. при х=1 и при х=0: NAxNx=0, NNKxNx=0. Логику Лукасевича можно рассматривать как обобщение двузначной в следующем смысле: если исключить третье значение, мы получим обычную двухзначную логику высказываний (см. Алгебра логики). Система Лукасевича с осн. функциями N и С не является функционально полной, т. е. в ней не все функции можно определить с помощью только N и С. Примером функции, к-рую нельзя определить указ. способом, является функция одного аргумента, принимающая значение У2 при любых его значениях (т. н. функция Слупецкого, обозначаемая через Тх). Система Лукасевича была аксиоматизирована Тарским и М. Вайсбергом. В дальнейшем Лукасевичем были МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА 473
Многозначная системаПоста характеризуется такими осн. чертами. Среди значений истинности iu t2,...,tm(r3$m может быть любым натуральным числом, но таким,что тгС?2) значение ^соответствует истинности, a tm— ложности. Осн. функции, через к-рые можно определить все остальные, суть отрицание (п) и дизъюнкция (V)- Они определяются так: (I) если х имеет значение t^ (l<i<m), то ~\х имеет значение tK (1<к<т), гдек=г+1 при i<m и к=1 при i—m\ при т=2 пж есть обычное двузначное отрицание высказывания х; (II) если х имеет значение Ij и j имеет значение tK , то x\J у имеет значение t^ если г^к, и значение tK если к<Х Если значения *,,..., ts где1<в<т назвать, как это принято, утверждающими, то тавтологию в системе Поста можно определить как высказывание, имеющее всегда утверждающее значение (возможно, что число таких значений равно 2 и более). После работ Лукасевича и Поста развитие М. л. шло в двух направлениях: 1) разработка систем М. л. с целью развития аппарата логики, изучение свойств таких систем и отношений между ними, создание их общей теории; 2) использование имеющихся систем М. л. (и построение новых) для решения конкретных задач науч. исследования. В первом направлении шли работы польских логиков С. Яськовского и Е. Слупец-кого, а также работы Д. Вебба, Дж. Россера, А. Тюр-кетта, Дж. Роуза, сов. ученых С. В. Яблонского, А. В. Кузнецова и др. При этом были построены разнообразные непротиворечивые и полные (в различных смыслах) многозначные исчисления, в частности исчисления с бесконечным числом значений истинности высказываний, разработаны общие методы построения исчислений, удовлетворяющих определ. требованиям, выяснены взаимоотношения функциональных (матричных) и аксиоматич. построений в М. л., взаимоотношения двузначных и многозначных систем, выявлены критерии полноты отд. типов исчислений М. л. (напр., трехзначных) и т. п. Построения М. л. охватили и сферу логики предикатов (напр., Россер и Тюркстт построили многозначное предикатов исчисление первой ступени). Во втором направлении шли работы А. Гейтинга, сов. ученых Д. А. Бочвара и В. И. Шестакова, работы Рейхенбаха, Клини, франц. ученой П. Детуш-Феврие и др. Так, Гейтинг формализовал интуиционистскую логику высказываний (к-рую в силу результата К. Гё-деля можно рассматривать как М. л. с бесконечным числом значений истинности) с целью оправдать исключение из числа логич. средств принципа исключенного третьего; Бочвар построил трехзначную логику с целью решения парадоксов логики путем формального доказательства бессмысленности определ. высказываний; Рейхенбах использовал трехзначное построение для преодоления ряда филос. и логич. трудностей квантовой механики; Шестаков исследовал возможности моделирования М. л. предложений посредством электрич. схем. Идеи и аппарат М. л. использовались и разрабатывались также (Лука-севич, Рейхенбах) в связи с теорией вероятностей (Если в к.-л. бесконечно-значной системе логики пропозиц. переменные истолковать как события, то ее значения истинности естественно интерпретировать как вероятности этих событий), в связи с системами строгой и сильной импликаций (К. И. Льюис, нем. математик В. Аккерман) и т. д. В последние годы делаются серьезные попытки использования М. л. в кибернетике (напр., в теории программирования, при разработке информационно-логич. машин и др.). Исчисления (системы) М. л. задаются чаще всего с помощью истинностных таблиц (матриц), определяющих логич. операции. Известны исчисления, в к-рых число значений истинности предполагается равным трем, четырем и т. д., а также системы, где предполагается любое конечное или бесконечное множество значений. Для любой такой системы имеет смысл задача обзора всех возможных функций истинности. Число таких функций для т аргументов при п значениях истинности равно ппШ. Осн. путь при этом состоит в том, чтобы свести исследование сложных функций к исследованию элементарных, отыскать нек-рое (обычно конечное) множество функций, с помощью к-рых можно определить (записать) все возможные функции данной системы. Сами осн. функции не должны при этом сводиться друг к другу. Известно много систем М. л., в к-рых все возможные функции истинности могут быть определены с помощью основных (функционально полные системы). Таковы, напр., системы Поста, Лукасевича — Слупецкого, Россера — Тюркетта и др. Полной является система, основывающаяся на одной единственной функции — т. н. функции Вебба, к-рая является аналогом и обобщением функции Шеффера двузначной логики. Эта функция определяется (для n-значной логики, в к-рой значениями истинности являются 0, 1, 2, ..., п—1, где п>2) как [max (x, у) +1] (mod/г). В качестве удобного метода обзора тавтологий систем М. л., заданных с помощью матриц, можно использовать их аксиоматическое описание. При этом для каждого матричного построения существует хотя бы одно аксиоматическое, эквивалентное ему (что означает, что множество выводимых в этом аксиоматич. построении формул совпадает с множеством тавтологий данного матричного построения). Однако не для всякого аксиоматич. построения имеется эквивалентное ему матричное (таковы, напр., системы строгой импликации). Для интуиционистского исчисления высказываний имеется эквивалентное матричное построение лишь при счетнобесконечном числе значений истинности (работы Яськовского, сов. математика Б. Ю. Пильчак, Дж. Роуза). Возникновение и развитие М. л., а также попытки использования ее при решении науч. проблем поставили ряд филос. вопросов,— таких, как вопросы о понимании дополнительных (кроме истинности и ложности) значений истинности с т. зр. теории отражения, о взаимоотношении М. л. и двузначной логики, о связи логики с особенностями исследуемой предметной области и т. п. Выяснилось, что М. л. не противоречит двузначной логике, а находится с ней в различных отношениях иного рода: для построения ге-значных систем достаточно (мета)языка двузначной логики; многозначные построения выступают как обобщения двузначного построения, так что последнее есть частный случай (при га=2) первых; из двузначной логики могут быть получены многозначные системы по определ. правилам и т. п. Факты интерпретации многозначных логич. систем в виде модальной логики, логики нормативных высказываний, на языке технич. устройств, на языке квантовой механики и т. п. показали, что эти системы имеют вполне реальный смысл, являясь отображением свойств определ. предметных областей. Использование связанных с идеями М. л. дополнит, значений истинности, таких, как бессмысленность, неопределенность, неразрешимость и т. п., получило широкое распространение в науке. Возникновение М. л. показало ошибочность представлений об абсолютном, априорном, независимом от развития познания действительности характере законов двузначной логики. Вместе с тем М. л. выступила как более глубокое и обобщенное (сравнительно с двузначной логикой) средство исследования свойств человеч. мышления. Лит.: В о ч в а р Д. А., Об одном трехзначном исчислении..., Матем. сб., нов. сер., т. 4(46), вып. 2, 1938; его ж е, К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного 474МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — МНОЖЕСТВО
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ— математич. теория, предметом изучения к-рой являются множества. М. т. сыграла выдающуюся роль в изучении идеи бесконечности, весьма важной для математики, логики и гносеологии. Осн. содержание т. н. классич. М. т. было разработано в последней трети 19 в. Кантором. В терминах М. т. удалось построить почти всю совр. математику. С 1900-х гг., в связи с открытием парадоксов в М. т. и логике, начался продолжающийся до сих пор этап усиленного логич. анализа осн. понятий М. т. Эти исследования (см. Метод аксиоматический, Типов теория, Интуиционизм, Математическая бесконечность) оказывают значит, влияние на разработку логич. оснований математики и на развитие совр. формальной (математической) логики. МНОЖЕСТВО— понятие математики и логики, выражающее обычно то же (или почти то же), что и понятие класса (в определ. форме различие между этими понятиями проводится иногда в связи со спец. проблематикой и терминологией теории М.). Поскольку, однако, в логич. основаниях математики обычно пользуются термином «М.», анализ глубоких трудностей, вызванных рассмотрением М. (конкретных или абстрактных) предметов (называемых элементами М.), связан в методологии науч. исследования именно с применением термина «М.». Введение в рассмотрение М. тех или иных предметов является одной из осн. познават. операций; при этом понятие М. становится отчетливым лишь в предположении, что элементы данного М. можно рассматривать как отд. предметы. Кроме того, обычно предполагается возможность сравнивать — различать и отождествлять — любые два элемента М. Осн. принципом образования М. служит возможность рассматривать, в связи с каждым свойством, М. предметов, обладающих этим свойством. В соответствии с этим, в связис каждым понятием можно рассматривать М. предметов, обладающих тем свойством, к-рое выражается этим понятием; соответствующее ему М. может состоять из любого (конечного) числа предметов; оно может также быть бесконечным; оно может быть и пустым, т. е. вовсе не содержать элементов — так, в частности, бывает тогда, когда рассматриваемое понятие логически противоречиво (напр., М. всех круглых квадратов пусто, т. к. никакой квадрат не может быть круглым). М. может оказаться пустым и в том случае, когда соответствующее понятие непротиворечиво (т. е. когда мыслимы предметы, обладающие выражаемым им свойством); напр., до полета В. Николаевой-Терешковой в космос пустым было понятие «женщина-космонавт». Если понятие, в связи с к-рым образуется М., имеет в виду конкретный предмет,— таковы, напр., понятия, выражаемые собственными именами,— то М. состоит ровно из одного элемента. При этом М., состоящее из одного элемента, следует отличать от самого этого элемента. Напр., космонавт Валентина Николаева-Терешкова имеется только одна и поэтому М. всех космонавтов по имени Валентина Николаева-Терешкова состоит лишь из одного элемента и это М. следует отличать от самой Валентины Николаевой-Терешковой. Но и М., построенное в связи с общим (по крайней мере по форме) понятием, может состоять ровно из одного элемента; напр., М. всех женщин-космонавтов, известных на 4 июня 1963. В связи с рассмотрением М., состоящих лишь из одного элемента, могут возникать определенные трудности. Напр., М. центров тяжести Земли должно, согласно принципам механики и геометрии, состоять ровно из одной точки, однако благодаря непрерывным перемещениям тел на поверхности и в недрах Земли такая точка является лишь воображаемой реальностью. Элементы М. могут быть отвлеченными объектами, в их обозначение могут входить неопредел, имена (т. е. языковые выражения в таком их употреблении, к-рое соответствует употреблению существительных с неопредел, артиклем в нем. и англ. языках), или т. н. параметры. Так постоянно бывает, когда в рассмотрение вводятся множества точек, чисел и др. математич. объектов, к-рые при этом рассматриваются как неопределенные. Понятие М. играет центр, роль в совр. классич. математике, т. к. к нему сводятся понятия действит. числа, функции, пространства и др. важнейшие понятия; оно крайне важно также и для логики. В т. н. чистой теории множеств рассматриваются М., элементами к-рых являются, в свою очередь, М. Это —характерная черта множеств теории. Основатель этой теории Кантор рассматривал понятие М. как результат двойной абстракции (отвлечения): от природы элементов М. и от порядка, в к-ром их естественно рассматривать. Первая из этих абстракций проводится последовательно лишь в отношении элементов, не являющихся М. Если элементами М. служат М., в теории множеств не отвлекаются от природы элементов. Часто рассматривают и упорядоченные М. (см. Порядка отношение), причем, с помощью понятия упорядоченной пары, их иногда сводят к М. в уже рассмотренном смысле, рассматривая такие, напр., М., как М. упорядоченных пар (обозначенных, напр., выражениями вида </,s>, где г и s — элементы данного упорядоченного М. и г предшествует s в рассматриваемом для этого М. порядке). Конечные М. часто задаются перечнем их элементов (т. е. списком их названий). Это невозможно в случае бесконечных М., к-рые можно задать только указанием тех свойств, к-рыми обладают их элементы. Рассматривая к.-л. область предметов (термин «область» является синонимом слова «М.»), можно без колебаний ввести в рассмотрение любые М. элементов этой области, т. е. М. всех ее элементов, обладающих к.-л. свойством,— но это лишь в предположении, что сам факт образования этого М. не меняет ни перво- МОБИДАН - МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА 475
МОВИДАН(1-я нол. 5 в.) — религ.-филос. мыслитель Грузии, представитель манихейства. Лит.: Нуцубидзе Ш. И., История груз, философии, Тб., I960; Хидашели Ш. В., Основные мировоззренческие направления в феодальной Грузии (IV—XIII века), Тб.. 1962. МОВСЁС ХОРЕНАЦИ(Моисей X о р е н-с к и й; 5 —6 вв.) — арм. историк и мыслитель, представитель «школы переводчиков», основанной Мес-ропо.ч Маштоцем, идеолог феодализма. В своем осн. труде «История Армении» (481—484, пер. с древнеарм., 1893, нов. изд. 1961) впервые представил историю арм. народа с легендарных времен до 5 в. Ему принадлежат фрагменты в «Книге хрий» — памятнике эсте-тич. мысли, переведенной им с греч. языка, а также арм. перевод «Повести об Александре Македонском» Псевдо-Каллисфена. Для эстетич. воззрений М. Х- характерны требование правдивого отображения жизни и выдвижение на первый план воспитат. роли иск-ва. Отступление от жизненной правды ведет к выхолащиванию иск-ва. Эти передовые принципы сыграли положит, роль в развитии ср.-век. арм. эстетич. мысли, иск-ва и лит-ры. Лит.: А б е г я н М., История древнеарм. лит., т. 1, МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА— область логики, в к-рой изучаются логич. операции, называемые модальностями (и выражаемые словами «возможно», «невозможно», «необходимо» и т. п.), разрабатываются исчисления, формализующие модальности, а также исследуются свойства этих исчислений. В обычной речи слова «возможно», «невозможно», «необходимо» и т. п. употребляются в различных значениях: 1) В предложениях типа (а): «Львы, возможно, живут на Аляске» [или в др. форме (а)': «Возможно, что львы живут на Аляске»] или (б): «Этот камень необходимо черный или не черный» [(б'): «Необходимо, что этот камень черный или не черный»] модальности понимаются в смысле т. н. логической возможности, необходимости и т. п. Логич. возможность при этом означает отсутствие логич. противоречия (примером логически противоречивого высказывания будет, напр.,высказывание «Возможно, что этот стол белый и не белый»), а логич. необходимость служит для выражения законов логики [в примере (б) необходимость вытекает из закона исключенного третьего]. 2) В предложениях вида (в): «На Марсе возможна жизнь» [(в'): «Возможно, что на Марсе есть жизнь»] или (г): «При температуре 0°С лед необходимо плавится» [(г'): «Необходимо, что при температуре 0°С лед плавится»] модальности понимаются как каузальные возможность, необходимость и т. д. Предложения с каузальными модальностями выражают внелогич. законы — основанные на причинных отношениях действительности законы природы, общества и т. д. В логике обычно предполагают, что всякое высказывание, содержащее каузальную возможность, также и логически возможно, а всякое высказывание, содержащее логич. необходимость, также и каузально необходимо, но не наоборот. Так, высказывание (а) истинно, если возможность рассматривать как логическую, и ложно, если ее рассматривать как каузальную. Высказывание (г) истинно, если необходимость рассматривать как каузальную, и ложно, если ее считать логической. 3) В предложениях вида «Возможно, что завтра пойдет дождь» или «Он обязательно придет сегодня вечером» модальности выражают сомнение или уверенность в наступлении события. 4) В высказываниях «Осужденный может подать кассационную жалобу» или «На суде свидетель должен говорить только правду» модальности понимаются как возможность или необходимость к.-л. действий или поступков людей, диктуемые (юридич.) законами, нормами морали, правилами игры или др. обстоятельствами. Приведенные выше предложения были примерами предложений ст. н. абсолютными модальностями. Кроме них, в обычной речи употребляются предложения вида «Прямоугольник необходимо является квадратом, если все его стороны равны». Модальности, употребляемые в такого рода предложениях, наз. относительными. Мн. модальности, рассматриваемые обычно как абсолютные, при более тщательном анализе оказываются относительными, ибо в высказываниях с такими модальностями неявно подразумеваются нек-рые необходимые условия. Так, в высказывании «Вода необходимо кипит при 100°С» подразумевается в качестве необходимого условия то, что атмосферное давление равно 760 мм ртутного столба.
Поиск по сайту: |
В трехзначной логике Лукасевича значения истинности высказываний отождествляются с числами 1 (истинно), 0 (ложно) и i/г (третье значение). В качестве основных выбираются две функции [обозначаемые через N и С и соответствующие отрицанию и (материальной) импликации двузначной логики], к-рые определяются так: (1) Nx=\—х (т. е. Nx~0 при х=1, Nx~l при х=0 и Nx=!-/2 при х=1/2). (2) Cxy=mift (1,1—х-}-у) [т. е. значение истинности импликации высказываний х и у равно меньшему из чисел 1 и 1—х-\-у\ напр., при х=\ и у=1/2 импликация Сху имеет значение min (1,1—^-Jr1l2)^=1l2\. В табличной форме эти определения имеют вид:
построены др. системы М. л., в частности бесконечно-значная логика. Последняя получается путем обобщения приведенных выше определений функций N и. С, при к-ром в качестве значений истинности высказываний принимаются действит. числа от 0 до 1.
исчисления, там же, нов. сер., т. 12 (54), вып. 3, 1943;
начальной области, ни рассматриваемого свойства. Это, казалось бы, ясное требование приходится нарушать при попытках обоснования канторовской теории М. обычными средствами. Дело в том, что «свойства», рассматриваемые в этой теории, являются свойствами М., и в их формулировку постоянно входят выражения «для всех М.», «для нек-рых М.»— и смысл этих выражений может измениться при построении нового, ранее не существовавшего М. Если М. вводится свойством этого рода, то говорят, что оно введено посредством непредикативного определения. Внимательное рассмотрение простейших построений классич. теории М. показывает, что эти построения либо просто основаны на таких допущениях, к-рые влекут за собой возможность этих построений (и в таком случае сами эти построения не могут служить для обоснования этих допущений, т. к. это значило бы круг в доказательстве), либо на непредикативных определениях, представляющих собой разновидность порочного круга в определениях. В использовании непредикативных определений можно видеть осн. причину возникновения парадоксов теории М. К таким парадоксам приводит, напр., рассмотрение М. всехМ. (парадокс Кантора) или М. всех М., не являющихся своими собств. элементами (парадокс Рассела). Трудности, связанные с непредикативными определениями, являются одной из причин постановки острейших проблем логич. оснований теории М., поскольку важнейшие построения этой теории используют конструкции, обоснование к-рых включает непредикативные определения (или к.-л. др. вызывающие сомнения предположения). К числу таких конструкций относится, напр., построение объединения всех элементов нек-рого множества М., а на этом построении основаны доказательства мн. осн. теорем математич. анализа. Поэтому, с одной стороны, предпринимаются усилия по построению теории М., не использующей конструкций этого рода,— т. н. предикативная математика (Г. Вейль, Лоренцен), в к-рой мн. классич. теоремы верны лишь с нек-рыми ограничениями,— с др. стороны, приобретает особую остроту проблема доказательства непротиворечивости различных вариантов аксиоматич. теории М., пригодных для построения на их основе классич. математики.