Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Побудова еліпса по точках



Побудуємо два кола з центром на початку координат і радіусами і , рівними відповідно великій і малій півосям еліпса. Проведемо з початку координат промінь під кутом до осі абсцис (рис. 3.15). Нехай й точки його перетину з побудованими колами. – точка перетину прямих, проведених з паралельно осі абсцис і з паралельно осі ординат. Визначимо геометричне місце точок . Точка лежить на еліпсі з півосями і , для якого осі координат є осями симетрії. Тоді, координати точки

, .

Оскільки точка лежить на прямій, що проходить через точку перпендикулярно осі , то точки і мають однакові абсциси, а оскільки точка лежить на прямій, що проходить через точку перпендикулярно осі , то точки і мають однакові ординати, тому абсциса точки дорівнює , а ордината . Отже, точка лежить на еліпсі

.

Провівши через точку різні промені, ми зазначеним шляхом побудуємо скільки завгодно точок еліпса.

 

Параметричні рівняння еліпса

У багатьох задачах буває корисним використання параметричних рівнянь еліпса.

Нехай даний еліпс задається канонічним рівнянням

. (6)

Розглянемо коло

, (7)

яке переходить у даний еліпс в результаті стиску

, . (8)

Нехай – довільна точка даного еліпса (рис. 3.16), – її прообраз на колі (7). Позначимо через кут від додатного напрямку осі до променя .

Тоді ,

і, отже,

, .

Рівняння

,

і є параметричними рівняннями еліпса.

Параметр називається ексцентричним кутом точки еліпса. Якщо задано точку еліпса, то для знаходження треба побудувати коло на більшій осі еліпса як на діаметрі і через точку провести пряму, паралельну малій осі еліпса. Точка перетинання цієї прямої з колом, що лежить по ту ж сторону від більшої осі еліпса, що і точка , є прообразом точки при рівномірному стиску (8); кут від осі до променя і є ексцентричним кутом , що відповідає узятій точці на еліпсі:

.

 

Гіпербола

 

Гіперболою – називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до 2-х даних точок, називаних фокусами, є величина стала (ця стала величина повинна бути додатною і менше відстані між фокусами) (рис. 3.17).

 

Позначимо цю сталу через , відстань між фокусами – . Нехай – довільна точка гіперболи.

За означенням гіперболи:

. (9)

Оскільки

,

то ,

або

.

 

Піднісши обидві частини останньої рівності до квадрату, одержимо

,

відкіля

.

Підведемо ще раз це рівняння до квадрату

;

;

;

.

Оскільки різниця 2-х сторін трикутника менше 3-ї його сторони, то .

Покладемо

. (10)

Тоді одержимо

,

і остаточно

. (11)

Відзначимо властивості лінії, визначеної рівнянням (11). Ця лінія симетрична щодо осей координат і відносно початку координат.

Оскільки , то для всіх точок кривої справедливо , і немає точок кривої в смузі . Крива складається, отже, з 2-х окремих частин – гілок гіперболи, одна з яких лежить в області , а інша – в області (права і ліва гілки гіперболи).

Число називається як правило дійсною піввіссю гіперболи, число уявною піввіссю. Точки перетинання гіперболи з її віссю симетрії називаються вершинами гіперболи, точки і – її фокусами.

Відзначимо ще одну особливість форми досліджуваної лінії. Розглянемо разом з гіперболою дві прямі: . Легко бачити, що в 1-й чверті (унаслідок симетрії лінії досить розглядати 1-у чверть) при одній і тій же абсцисі ординати точок гіперболи менше ординат відповідних точок прямої .

Дійсно, .

Разом з тим, оскільки

,

то різниця прагне до нуля при необмеженому зростанні , і тому точки гіперболи при необмеженому збільшенні абсцис, як завгодно близько підходять до відповідних точок прямої .

Прямі

, (12)

до яких як завгодно близько при підходять точки гілок гіперболи, називаються асимптотами гіперболи. Легко бачити, що асимптоти гіперболи направлені по діагоналях прямокутника зі сторонами і , симетрично щодо осей симетрії гіперболи.

Якщо уявна вісь гіперболи направлена по осі і має довжину , а дійсна вісь довжиною спрямована по осі , то рівняння гіперболи має вигляд (рис. 3.18):

 

. (13)

 

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до її дійсної осі:

. (14)

Для гіперболи, що обчислюється за формулою (13) ексцентриситет обчислюється так:

. (14')

Асимптоти гіперболи (13) обчислюються так само, як і в гіперболи (11) за формулами (12).

Гіперболи (11) і (13) називаються спряженими.

Гіпербола називається рівносторонньою, якщо її дійсна і уявна осі рівні, тобто . Найпростіше рівняння рівносторонньої гіперболи має вигляд:

. (15)

. (16)

Асимптоти гіпербол (15) і (16) взаємно перпендикулярні.

 

Парабола

Параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, що називається фокусом і даної прямої, яка називається директрисою (рис.3.19).

 

Величина , рівна відстані від фокуса до директриси, називається параметром параболи; пряма що проходить через фокус параболи перпендикулярно її директрисі, називається віссю, а точка перетину параболи з її віссю – вершиною параболи.

 

За означенням

. (17)

 

 

Тоді формула параболи в обраній системі координат буде:

;

;

;

. (18)

(18) – канонічне рівняння параболи.

 

У залежності від розташування параболи відносно системи координат запишемо її рівняння (рис.3.20, 3.21, 3.22).

 

 

 

 

 

 

 

Задачі

1. Відстань між фокусами еліпса дорівнює , відстань між його директрисами дорівнює (рис.3.23). Знайти найпростіше рівняння цього еліпса.

 

 

Розв’язання.

– директриси;

;

; .

; ; ; .

.

 

2. Знайти дотичні до еліпса , перпендикулярні до прямої .

Відповідь: .

 

3. Дано гіперболу . Написати рівняння асимптот.

Відповідь: .

 

4. Знайти довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет гіперболи, заданої рівнянням:

а) ;

б)

Відповідь:

а) Дійсна вісь гіперболи дорівнює .

, , .

б) Дійсна вісь гіперболи дорівнює , уявна .

, , .

 

 

Питання для самоконтролю:

16. Поняття про рівняння лінії. Загальне рівняння прямої лінії на площині і його дослідження.

17. Рівняння прямої лінії на площині з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку.

18. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках.

19. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої.

20. Загальне рівняння площини та його дослідження.

21. Рівняння площини, що проходить через одну і три точки.

22. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

23. Параметричні рівняння прямої лінії в просторі. Канонічне рівняння прямої лінії в просторі, що проходить через дві дані точки.

24. Кут між двома прямими в просторі. Умова паралельності і перпендикулярності двох прямих в просторі.

25. Точка перетину прямої і площини. Кут між прямою та площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини.

26. Криві другого порядку – коло, еліпс. Півосі, фокуси, ексцентриситет еліпсу.

27. Гіпербола, її канонічне рівняння, півосі, фокуси, ексцентриситет, асимптоти.

28. Парабола, її канонічне рівняння, фокус і директриса параболи.

 

Тести до розділу 3

11. Вказати рівняння прямої, що проходить через дві точки:

а) ; б) ; в) .

12. Вказати рівняння прямої у відрізках:

а) ; б) ; в) .

13. Знайти координати точки перетину медіан трикутника , де , , .

14. Які з даних прямих перпендикулярні до прямої :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

15. Знайти відстань між паралельними прямими і .

16. Знайти координати центра і радіус кола .

17. Знайти відстань між фокусами еліпса і між фокусами гіперболи .

18. Знайти відповідність між твердженнями відносно двох площин

, (1)

, (2)

прямою і їх ознаками:

1) площини паралельні а) ;

2) площини перпендикулярні б) ;

3) площина (1) і пряма паралельні в) ;

4) площина (1) і пряма перпендикулярні г) .

19. Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині .

Відповідь: , де …, …, ….

20. Через точку провести площину, перпендикулярну до прямої , .

Відповідь: , де …, …, ….

 

Відповіді: 1. . 2. . 3. , . 4. ; ; . 5. . 6. , ; . 7. ; . 8. ; ; ; . 9. ; ; . 10. ; ; .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.