Побудова еліпса по точках

Побудуємо два кола з центром на початку координат і радіусами і , рівними відповідно великій і малій півосям еліпса. Проведемо з початку координат промінь під кутом до осі абсцис (рис. 3.15). Нехай й точки його перетину з побудованими колами. – точка перетину прямих, проведених з паралельно осі абсцис і з паралельно осі ординат. Визначимо геометричне місце точок . Точка лежить на еліпсі з півосями і , для якого осі координат є осями симетрії. Тоді, координати точки

, .

Оскільки точка лежить на прямій, що проходить через точку перпендикулярно осі , то точки і мають однакові абсциси, а оскільки точка лежить на прямій, що проходить через точку перпендикулярно осі , то точки і мають однакові ординати, тому абсциса точки дорівнює , а ордината . Отже, точка лежить на еліпсі

.

Провівши через точку різні промені, ми зазначеним шляхом побудуємо скільки завгодно точок еліпса.

Параметричні рівняння еліпса

У багатьох задачах буває корисним використання параметричних рівнянь еліпса.

Нехай даний еліпс задається канонічним рівнянням

. (6)

Розглянемо коло

, (7)

яке переходить у даний еліпс в результаті стиску

, . (8)

Нехай – довільна точка даного еліпса (рис. 3.16), – її прообраз на колі (7). Позначимо через кут від додатного напрямку осі до променя .

Тоді ,

і, отже,

, .

Рівняння

,

і є параметричними рівняннями еліпса.

Параметр називається ексцентричним кутом точки еліпса. Якщо задано точку еліпса, то для знаходження треба побудувати коло на більшій осі еліпса як на діаметрі і через точку провести пряму, паралельну малій осі еліпса. Точка перетинання цієї прямої з колом, що лежить по ту ж сторону від більшої осі еліпса, що і точка , є прообразом точки при рівномірному стиску (8); кут від осі до променя і є ексцентричним кутом , що відповідає узятій точці на еліпсі:

.

Гіпербола

Гіперболою – називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до 2-х даних точок, називаних фокусами, є величина стала (ця стала величина повинна бути додатною і менше відстані між фокусами) (рис. 3.17).

Позначимо цю сталу через , відстань між фокусами – . Нехай – довільна точка гіперболи.

За означенням гіперболи:

. (9)

Оскільки

,

то ,

або

.

Піднісши обидві частини останньої рівності до квадрату, одержимо

,

відкіля

.

Підведемо ще раз це рівняння до квадрату

;

;

;

.

Оскільки різниця 2-х сторін трикутника менше 3-ї його сторони, то .

Покладемо

. (10)

Тоді одержимо

,

і остаточно

. (11)

Відзначимо властивості лінії, визначеної рівнянням (11). Ця лінія симетрична щодо осей координат і відносно початку координат.

Оскільки , то для всіх точок кривої справедливо , і немає точок кривої в смузі . Крива складається, отже, з 2-х окремих частин – гілок гіперболи, одна з яких лежить в області , а інша – в області (права і ліва гілки гіперболи).

Число називається як правило дійсною піввіссю гіперболи, число уявною піввіссю. Точки перетинання гіперболи з її віссю симетрії називаються вершинами гіперболи, точки і – її фокусами.

Відзначимо ще одну особливість форми досліджуваної лінії. Розглянемо разом з гіперболою дві прямі: . Легко бачити, що в 1-й чверті (унаслідок симетрії лінії досить розглядати 1-у чверть) при одній і тій же абсцисі ординати точок гіперболи менше ординат відповідних точок прямої .

Дійсно, .

Разом з тим, оскільки

,

то різниця прагне до нуля при необмеженому зростанні , і тому точки гіперболи при необмеженому збільшенні абсцис, як завгодно близько підходять до відповідних точок прямої .

Прямі

, (12)

до яких як завгодно близько при підходять точки гілок гіперболи, називаються асимптотами гіперболи. Легко бачити, що асимптоти гіперболи направлені по діагоналях прямокутника зі сторонами і , симетрично щодо осей симетрії гіперболи.

Якщо уявна вісь гіперболи направлена по осі і має довжину , а дійсна вісь довжиною спрямована по осі , то рівняння гіперболи має вигляд (рис. 3.18):

. (13)

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до її дійсної осі:

. (14)

Для гіперболи, що обчислюється за формулою (13) ексцентриситет обчислюється так:

. (14')

Асимптоти гіперболи (13) обчислюються так само, як і в гіперболи (11) за формулами (12).

Гіперболи (11) і (13) називаються спряженими.

Гіпербола називається рівносторонньою, якщо її дійсна і уявна осі рівні, тобто . Найпростіше рівняння рівносторонньої гіперболи має вигляд:

. (15)

. (16)

Асимптоти гіпербол (15) і (16) взаємно перпендикулярні.

Парабола

Параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, що називається фокусом і даної прямої, яка називається директрисою (рис.3.19).

Величина , рівна відстані від фокуса до директриси, називається параметром параболи; пряма що проходить через фокус параболи перпендикулярно її директрисі, називається віссю, а точка перетину параболи з її віссю – вершиною параболи.

За означенням

. (17)

Тоді формула параболи в обраній системі координат буде:

;

;

;

. (18)

(18) – канонічне рівняння параболи.

У залежності від розташування параболи відносно системи координат запишемо її рівняння (рис.3.20, 3.21, 3.22).

Задачі

1. Відстань між фокусами еліпса дорівнює , відстань між його директрисами дорівнює (рис.3.23). Знайти найпростіше рівняння цього еліпса.

Розв’язання.

– директриси;

;

; .

; ; ; .

.

2. Знайти дотичні до еліпса , перпендикулярні до прямої .

Відповідь: .

3. Дано гіперболу . Написати рівняння асимптот.

Відповідь: .

4. Знайти довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет гіперболи, заданої рівнянням:

а) ;

б)

Відповідь:

а) Дійсна вісь гіперболи дорівнює .

, , .

б) Дійсна вісь гіперболи дорівнює , уявна .

, , .

Питання для самоконтролю:

16. Поняття про рівняння лінії. Загальне рівняння прямої лінії на площині і його дослідження.

17. Рівняння прямої лінії на площині з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку.

18. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках.

19. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої.

20. Загальне рівняння площини та його дослідження.

21. Рівняння площини, що проходить через одну і три точки.

22. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

23. Параметричні рівняння прямої лінії в просторі. Канонічне рівняння прямої лінії в просторі, що проходить через дві дані точки.

24. Кут між двома прямими в просторі. Умова паралельності і перпендикулярності двох прямих в просторі.

25. Точка перетину прямої і площини. Кут між прямою та площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини.

26. Криві другого порядку – коло, еліпс. Півосі, фокуси, ексцентриситет еліпсу.

27. Гіпербола, її канонічне рівняння, півосі, фокуси, ексцентриситет, асимптоти.

28. Парабола, її канонічне рівняння, фокус і директриса параболи.

Тести до розділу 3

11. Вказати рівняння прямої, що проходить через дві точки:

а) ; б) ; в) .

12. Вказати рівняння прямої у відрізках:

а) ; б) ; в) .

13. Знайти координати точки перетину медіан трикутника , де , , .

14. Які з даних прямих перпендикулярні до прямої :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

15. Знайти відстань між паралельними прямими і .

16. Знайти координати центра і радіус кола .

17. Знайти відстань між фокусами еліпса і між фокусами гіперболи .

18. Знайти відповідність між твердженнями відносно двох площин

, (1)

, (2)

прямою і їх ознаками:

1) площини паралельні а) ;

2) площини перпендикулярні б) ;

3) площина (1) і пряма паралельні в) ;

4) площина (1) і пряма перпендикулярні г) .

19. Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині .

Відповідь: , де …, …, ….

20. Через точку провести площину, перпендикулярну до прямої , .

Відповідь: , де …, …, ….

Відповіді: 1. . 2. . 3. , . 4. ; ; . 5. . 6. , ; . 7. ; . 8. – ; – ; – ; – . 9. ; ; . 10. ; ; .

Поиск по сайту: