Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Лінійні дії з векторами, заданими розкладом в ортонормованому базисі. Умови колінеарності векторів



 

Нехай задані два вектора своїм розкладом в ортонормованому базисі

; .

 

а) При складанні векторів однойменні проекції їх складуються

;

 

б) Щоб відняти два вектори, треба відняти їх проекції

;

в) Щоб помножити вектор на число треба помножити його проекції на число

.

Умова колінеарності двох векторів є пропорційність їх координат: .

 

Ділення відрізку в даному співвідношенні

 

Задача № 1.Знайти координати точки , яка ділить даний відрізок в заданому співвідношенні (рис.2.6).

Розв’язання.

Нехай задані дві точки і , й дано співвідношення , в якому деяка точка ділить спрямований відрізок : .

Знайдемо координати точки .

Нехай , , проекції точок , , на вісь . Тоді , тобто відрізки двох прямих, укладених між паралельними площинами, пропорційні.

 

Із цього прямує, що і модулі векторів задовольняють аналогічному співвідношенню: . Оскільки ; , а за умовою , то рівняння матиме вигляд

;

; ;

.

Для координат і будемо мати:

; .

Поклавши , знайдемо координати середини відрізка

; ; ,

тобто, координати середини відрізка дорівнюють полусумі координат його початку і кінця.

 

Скалярний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості

Задача № 2.Треба знайти роботу сили , якщо точка, на яку діє сила, здійснила переміщення рівне .

Якщо точка пересувається по напрямку сили, то по означенню, робота сили дорівнює добутку величини сили на довжину переміщення, тобто .

Якщо ж точка пересувається під кутом до напрямку сили, то працює тільки той доданок сили , що має напрям по лінії , а перпендикулярний доданок урівноважиться опором (рис. 2.7).

.

Отже, робота сили дорівнює:

.

 
 

 


Скалярним добутком двох векторів називається число рівне добутку їх довжин, помноженому на косинус кута між ними

,

або

; .

Скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них помноженого на проекцію другого вектора по напрямку першого.

 

Основні властивості скалярного добутку

В векторному численні величину називають скалярним добутком векторів та тому, що, по-перше, ця величина є скаляр і, по-друге, має деякі алгебраїчні властивості звичайного добутку чисел.

Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1о. Скалярний добуток обертається в нуль в тому і тільки в тому випадку, коли, по крайній мірі, один із векторів є нульовим, або якщо вектори перпендикулярні.

Доведення.

Скалярний добуток дорівнює нулю, якщо і одночасно дорівнюють нулю; або окремо і , чи навпаки і . У випадку, коли вектори-множники не є нульовими, то , тому що за умовою і при , маємо , тобто .

2о. Скалярний добуток має властивість комутативності . Це випливає із означення.

3о. До скалярного добутку можна застосувати дистрибутивний закон.

Щоб помножити суму векторів треба помножити кожний доданок, і скласти отримані добутки

.

4о. Асоціативна властивість відносно множення на число :

.




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.