Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Правило розв’язання довільної системи лінійних рівнянь



1. Обчислюючи ранги основної і розширеної матриці системи, з’ясовують питання про її сумісність. Якщо система сумісна, то знаходять який-небудь базисний мінор порядку .

2. Береться рівнянь, з коефіцієнтів яких складений базисний мінор; інші рівняння відкидають. Невідомі, коефіцієнти які входять у базисний мінор, називають головними і залишають ліворуч, а інші невідомих називають вільними і переносять у праві частини рівнянь.

3. За правилом Крамера або методом Гаусса знаходять значення головних невідомих через вільні. Отримані рівності являють собою загальний розв’язок системи.

4. Надаючи вільним невідомим будь-які числові значення, знаходять відповідні значення головних невідомих. Тим самим знаходять часткові розв’язки даної системи рівнянь.

 

Приведена схема не означає, що для розв’язку системи (1) у загальному випадку необхідно обчислювати окремо, а потім порівнювати ранги матриці системи і розширеної матриці . Досить відразу застосувати метод Гаусса.

 

Перевага методу Гаусса в порівнянні з іншими методами:

· значно менш трудомісткий;

· дозволяє однозначно встановити, сумісна чи ні система, а у випадку сумісності знайти її розв’язок (єдиний або нескінченна множина);

· дає можливість знайти максимальне число лінійно незалежних розв’язків – ранг матриці системи.

 

Приклад. Методом Гаусса розв’язати систему:

 

Розв’язання. Перетворимо розширену матрицю системи (для зручності обчислень беремо як перший рядок коефіцієнти другого рівняння, у якому коефіцієнт при дорівнює ).

 

 

Таким чином, ранг матриці системи .

Залишаємо в лівій частині змінні , котрі беремо за основні (визначник з коефіцієнтів при них (базисний мінор) відмінний від нуля, тобто ). Інші неосновні змінні , переносимо в праві частини рівнянь. У результаті одержуємо систему

Звідси

і

.

Задаючи неосновним змінним довільні значення , знайдемо нескінченну множину розв’язків системи ( ; ; ; ).

 

Приклад. Знайти всі базисні розв’язки системи попереднього приклада.

 

Розв’язання. Ранг матриці системи , отже, одне з рівнянь системи, наприклад, третє можна відкинути.

Загальне число груп основних змінних не більше ніж , тому можливі наступні групи основних змінних: ; ; ; ; ; .

З’ясуємо, чи можуть змінні бути основними.

Оскільки визначник матриці з коефіцієнтів при цих змінних, тобто базисний мінор , то можуть бути основними змінними. Міркуючи аналогічно, знайдемо, що з усіх можливих груп основних змінних тільки змінні не можуть бути основними, тому що .

Знайдемо перший базисний розв’язок, взявши в якості основних змінних , а в якості неосновних . Прирівнюючи неосновні змінні до нуля, тобто , одержимо систему рівнянь у виді: , звідси ; , таким чином, перший базисний розв’язок .

 

Аналогічно знаходяться й інші базисні розв’язки:

; ; і .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.