Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Точка перетину прямої і площині. Кут між прямою і площиною. Умова паралельності і перпендикулярності прямої і площини



 

Нехай задані рівняння прямої лінії в просторі

(*)

і рівняння площини

. (**)

Для визначення координат точки перетину прямої лінії з площиною потрібно спільно розв’язати ці рівняння.

Прирівнявши рівність до , отримаємо

, , .

 

Підставляючи координати , записані через параметр , у рівняння , знайдемо спочатку , а потім і самі координати точки перетину.

 

Для розгляду умов паралельності і перпендикулярності прямої і площини знайдемо кут між прямою і площиною.

Нехай – кут між прямою і площиною. Його безпосередньо знайти не можна, але можна знайти кут між направляючим вектором прямої і нормальним вектором площини і, віднявши його від , визначимо (рис. 3.12). Зі скалярного добутку векторів з урахуванням, що , , маємо

.

Тоді у випадку паралельності прямої і площини кут між ними дорівнює нулю. Отже, , а це значить, що

умова паралельності прямої і площини.

 

Зауваження.

Ця умова отримується відразу, якщо замітимо, що вектори і перпендикулярні, і, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю.

 

Умова перпендикулярності прямої і площини співпадає з умовою паралельності цієї прямої і перпендикуляра до площини, тобто .

 

 

Приклад 1. Знайти координати точки перетину прямої і площини .

Відповідь: .

 

Приклад 2. Знайти кут між прямою і площиною .

Відповідь: .

 

Приклад 3. Яке повинне бути значення , щоб пряма була паралельна площини .

Відповідь: .

 

Приклад 4. Провести через пряму площину, паралельну прямій .

Відповідь: .

 

Приклад 5. Через точку провести пряму, паралельну площини так, щоб вона перетинала пряму .

Відповідь: .

 

Приклад 6. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і пряму .

Відповідь: .

 

 

Лінії другого порядку

Коло

Загальне рівняння другого степеня відносно змінних і може містити члени другого степеня , першого степеня , а також нульового степеня (вільний член).

Відповідно до цього загальне рівняння другого степеня можна записати у вигляді:

, (1)

при цьому передбачалося, що хоча б один з коефіцієнтів рівняння (1) не дорівнює нулю.

Лінії, що відповідають цьому рівнянню, називаються кривими 2-го порядку.

Найпростішою такою кривою є коло.

Коло. Колом називається множина усіх точок площини, відстані яких від заданої точки площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу).

Круг складається з кола і внутрішніх точок.

Коло з центром у точці і радіуса має рівняння:

. (2)

Це рівняння називають канонічним, рівнянням кола. Можна показати, що рівняння (2) є рівнянням другого степеня.

Замітимо, що в рівнянні кола відсутній член з добутком поточних координат і коефіцієнти при квадратах поточних координат рівні між собою.

 

Еліпс

Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами (рис. 3.13).

Виберемо систему прямокутних декартових координат так, щоб вісь абсцис проходила через обидві задані точки і , а початок координат знаходився в середині відрізка .

Нехай одна з точок розглянутої множини. Позначимо через відстань між заданими точками і , а через задану суму відстаней і . Точка має координати , точка .

, .

За означенням еліпса – є величина стала, рівна , тоді маємо:

, (3)

або

;

;

,

або

;

;

;

;

.

Розділивши обидві частини останнього рівняння на , одержимо:

.

Оскільки (сума двох сторін трикутника більше - ї сторони), то .

Покладемо

. (4)

Тоді остаточно одержимо рівняння:

. (5)

Зробимо деякі зауваження про форму лінії, що відповідає отриманому рівнянню (рис.3.14).

Оскільки і , то крива симетрична відносно осей координат, а тому і відносно початку координат. Зі зростанням від до , спадає від до . Точки кривої існують лише в прямокутнику , . Точка перетину осей симетрії – центр симетрії, вона називається центром еліпса.

Точки і називаються фокусами еліпса, числа і півосями еліпса, точки перетину еліпса з його осями симетрії – вершинами еліпса.

Зі зміною змінюється форма еліпса. Якщо прямує до нуля, тобто фокуси еліпса зливаються, то прямує до й еліпс стає колом з рівнянням , тобто коло є частинний випадок еліпса, коли півосі еліпса рівні між собою.

Якщо ж прямує до , то прямує до нуля, і, отже, еліпс стискується уздовж осі ординат. Отже, відношення може служити мірою еліпса, мірою його відхилення від кола.

Число називається ексцентриситетом еліпса.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.