Алгоритм обчислення оберненої матриці

1). Знаходимо визначник даної матриці. Якщо , то матриця – вироджена і оберненої матриці не існує. Якщо , то матриця – невироджена і обернена матриця існує.

2). Знаходимо алгебраїчні доповнення до елементів даної матриці .

3). Складаємо приєднану матрицю , шляхом транспонування алгебраїчних доповнень .

4). Обчислюємо обернену матрицю за формулою (2).

5). Перевіряємо правильність обчислення оберненої матриці , виходячи з її означення .

Приклад. Знайти обернену матрицю: .

Розв’язання.

1. Визначник матриці , тобто матриця – невироджена і обернена матриця існує.

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

; ; ; ; ; ; ; ; .

3°. Складаємо приєднану матрицю , з огляду на, що

.

4°. Обчислюємо обернену матрицю

.

5°. Перевіряємо правильність обчислення оберненої матриці за формулою:

.

Для невироджених матриць виконуються наступні властивості:

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). .

Ранг матриці. Властивості рангу

Для розв’язання і дослідження ряду математичних і прикладних задач важливе значення має поняття рангу матриці.

У матриці розміру викреслюванням будь-яких рядків і стовпців можна отримати квадратні підматриці - го порядку, де . Очевидно, що матриця має мінори будь-якого порядку від до найменшого з чисел і .

Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці знайдеться, принаймні, один мінор, порядок якого буде найбільшим.

Означення. Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.

Ранг матриці позначається , або .

З означення випливає:

а) ранг матриці не перевищує меншого з її розмірів, тобто ;

б) тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто ;

в) для квадратної матриці - го порядку тоді і тільки тоді, коли матриця – невироджена.

Приклад. Обчислити ранг матриці: .

Розв’язання.

Матриця має четвертий порядок, тому . Однак , тому що матриця містить нульовий стовпець, тому . Усі підматриці третього порядку теж містять нульовий стовпець і тому мають нульові визначники, отже . Усі підматриці другого порядку або мають нульовий стовпець (другий або четвертий), або мають пропорційні стовпці (перший і третій), тому теж мають нульові визначники; таким чином . Оскільки матриця містить ненульові елементи, тобто невироджені підматриці першого порядку, то .

Елементарні перетворення матриці. Обчислення рангу матриці

Поиск по сайту: