Системи лінійних рівнянь. Основні поняття і означення

Система лінійних рівнянь з змінними має вигляд:

(1)

де , – довільні числа, які називаються відповідно коефіцієнтами при змінних і вільних членах рівнянь.

У більш короткому записі за допомогою знаків підсумовування систему можна записати у виді:

. (2)

Розв’язком системи (2) називається така сукупність чисел , при підстановці яких кожне рівняння системи обертається у правильну рівність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більш одного розв’язку.

Наприклад, система рівнянь – сумісна і визначена, тому що має єдиний розв’язок .

Система – несумісна, а система рівнянь – сумісна і невизначена, тому що має більш одного розв’язку, а точніше нескінченну множину розв’язків .

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, або еквівалентними, якщо вони мають однакову множину розв’язків.

Запишемо систему (1) у матричній формі. Позначимо:

; ; ,

де – матриця з коефіцієнтів при змінних, або матриця системи; – матриця-стовпець змінних; – матриця-стовпець вільних членів.

Оскільки число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці , то їх добуток

є матриця-стовпець. Елементами отриманої матриці є ліві частини системи (1). На основі визначення рівності матриць систему (1) можна записати у виді

. (3)

1.5.2. Система лінійних рівнянь з змінними. Метод оберненої матриці і формули Крамера

Нехай число рівнянь системи (1) дорівнює числу змінних, тобто . Тоді матриця системи є квадратна, а її визначник називається визначником системи.

Розглянемо розв’язок системи двох рівнянь із двома змінними:

, (4)

у якій хоча б один з коефіцієнтів при змінних відмінний від нуля.

Для розв’язання цієї системи виключимо змінну , помноживши перше рівняння на , друге – на і додамо їх. Потім виключимо змінну , помноживши перше рівняння на , друге – на і також додамо їх. У результаті одержимо систему:

. (5)

Вираз в дужках є визначником системи

.

Позначивши , система (5) прийме вид:

(6)

З отриманої системи випливає, що якщо визначник системи , то система (4) має єдиний розв’язок, визначений за формулами:

, .

Якщо , а (або ), то система (4) несумісна, тому що в цьому випадку приводиться до виду: .

Якщо , то система (4) невизначена і має нескінченну множину розв’язків, тому що в цьому випадку приводиться до виду: .

Для одержання розв’язку системи (1) при в загальному виді припустимо, що квадратна матриця системи невироджена, тобто її визначник . У цьому випадку існує обернена матриця .

Помноживши зліваобидві частини матричної рівності (3) на матрицю , одержимо: . Оскільки , то розв’язком системи методом оберненої матриці буде матриця-стовпець

. (7)

Теорема Крамера. Нехай – визначник матриці системи, а – визначник матриці, отриманий з матриці заміною -го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо , то система має єдиний розв’язок, визначений за формулами:

. (8)

Формули (8) отримали назва формул Крамера.

Доведення.

Обернена матриця обчислюється за формулою , де – матриця приєднана до матриці . Оскільки елементи матриці є алгебраїчні доповнення елементів матриці , транспонованої до , то рівність (7) запишемо в розгорнутому виді:

.

Враховуючи, що , одержимо після множення матриць

,

звідки випливає, що для будь-якого

.

На основі властивості визначників (властивість 10) , де – визначник матриці, отриманий з матриці заміною - го стовпця стовпцем вільних членів. Отже, .

Формули Крамера фактично були отримані в окремому випадку при розв’язанні системи (4) при .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

а) методом оберненої матриці; б) за формулами Крамера.

Розв’язання. а) Позначимо ; ; .

Тоді в матричній формі дана система має вигляд: . Знайдемо визначник . Оскільки , то матриця – невироджена, і існує обернена матриця .

Матрицю знаходимо по розглянутому раніше алгоритму

.

Тепер за формулою (7) , тобто розв’язок системи .

б) Знайдемо визначник системи . Оскільки , то за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок.

Обчислимо визначники матриць , , , отримані з матриці , заміною відповідно першого, другого і третього стовпців стовпцем вільних членів:

;

;

.

; ; .

Відповідь: .

Істотним недоліком розв’язання систем лінійних рівнянь з змінними за формулами Крамера і методом оберненої матриці є їх велика трудомісткість, зв’язана з обчисленням визначників і знаходженням оберненої матриці.

Метод Гаусса

Метод Гаусса

Розглянемо розв’язок системи лінійних рівнянь з невідомими

(1)

Метод Гаусса – метод послідовного виключення змінних полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) виду з якої, послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних знаходяться всі інші змінні.

Це історично перший найбільш розповсюджений точний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.

Легко перевірити, що елементарні перетворення приводять дану систему рівнянь в еквівалентну систему.

Припустимо що в системі (1) коефіцієнт при змінній у першому рівнянні (якщо це не так, то перестановкою рівнянь місцями досягнемо того, що ).

Крок 1.

Помноживши перше рівняння на підходящі числа (а саме на ) і додаючи отримані рівняння відповідно до другого, третього, …, - того рівняння системи (1), виключимо змінну з усіх наступних рівнянь, починаючи з другого, одержимо

(2)

де буквами з верхнім індексом (1) позначені нові коефіцієнти, отримані після першого кроку.

Крок 2.

Припустимо що (якщо це не так то відповідною перестановкою рівнянь або змінних зі зміною їх номерів досягнемо того щоб ).

Помножимо друге рівняння на підходящі числа і додаючи отримані рівняння відповідно до третього, четвертого, …, - того рівнянь системи виключимо змінну з усіх наступних рівнянь, починаючи з третього.

Продовжуючи процес послідовного виключення змінних після -го кроку одержимо систему:

(3)

Число нуль в останніх рівняннях означає, що їх ліві частини мають вигляд

.

Якщо хоча б одне з чисел не дорівнює нулю, то відповідна рівність суперечлива, і система (1) несумісна.

Таким чином, для будь-якої сумісної системи числа в системі (3) дорівнюють нулю.

У цьому випадку останні рівнянь у системі (3) є тотожностями і їх можна не брати до уваги при розв’язанні системи (1). Очевидно, що після відкидання «зайвих» рівнянь можливі два випадки:

а) число рівнянь системи (3) дорівнює числу змінних тобто (у цьому випадку система (3) має трикутний вигляд);

б) (у цьому випадку система (3) має східчастий вигляд).

Перехід системи (1) до рівносильної їй системи (3) називається прямим ходомметоду Гаусса, а знаходження змінних із системи (3) – зворотним ходом.

Перетворення Гаусса зручно проводити, здійснюючи перетворення не із самими рівняннями, а з матрицями їхніх коефіцієнтів. Така матриця має вигляд

і називається розширеною матрицею системи (1), тому що в неї, окрім матриці системи , додатково включений стовпець вільних членів.

Поиск по сайту: