Умови сумісності і несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі

Дослідимо в загальному виді довільну систему лінійних рівнянь з невідомими (1).

Розглянемо матрицю цієї системи і її розширену матрицю :

.

Ясно, що ранги цих матриць зв’язані нерівністю , при цьому ранг матриці може бути лише на одну одиницю більше .

Було встановлено, що ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків. Тому, якщо рядки розширеної матриці , тобто рівняння системи (1) лінійно незалежні, то ранг матриці дорівнює числу її рівнянь , якщо лінійно залежні, то .

Питання про сумісність системи (1) цілком у загальному виді розглядається наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних рівнянь була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

Доведення.

Необхідність.Нехай система (1) сумісна і – який-небудь її розв’язок. Тоді мають місце рівності:

(2)

У розширеній матриці системи (1) виконаємо наступні елементарні перетворення. З останнього стовпця віднімемо перший стовпець, помножений на , другий, помножений на і т.д., нарешті на -й стовпець, помножений на . Одержимо матрицю:

. (3)

У силу (2) останній стовпець (3) складається з нулів.

Тому що матриця виходить із за допомогою елементарних перетворень, то . З іншого боку, відрізняється від тільки стовпцем з нулів, тому . Отже, і необхідна умова теореми доведена.

Достатність. Припустимо, що ранги матриць і рівні і доведемо, що система (1) сумісна.

Нехай ранг матриці позначається через . Серед мінорів -го порядку матриці мається мінор, відмінний від нуля. Не порушуючи спільності міркування можна вважати, що відмінний від нуля мінор -го порядку розташований у лівому верхньому куті:

.

(Це завжди можна зробити за допомогою зміни нумерації невідомих і перестановок рівнянь у системі).

Виділимо в системі (1) перші рівнянь і складемо з них нову систему:

(4)

Помітимо, що у випадку система (4) буде збігатися із системою (1).

Покажемо, що системи (1) і (4) рівносильні (при виконанні умов ).

Той факт, що кожний розв’язок системи (1) (якщо він існує) є також і розв’язком системи (4), очевидний. Необхідно перевірити, що і, навпаки, кожний розв’язок системи (4), якщо він існує, є також розв’язком системи (1).

Нехай – довільний розв’язок системи (4), таким чином мають місце рівності.

(5)

Числа задовольняють, звичайно, першим рівнянням системи (1). Ми повинні переконатися, що вони задовольняють і останнім рівнянням, тобто, що при справедливі рівності:

. (6)

Розглянемо розширену матрицю системи:

і виконаємо її як і при доведенні необхідності, елементарні перетворення: з останнього стовпці віднімемо всі інші стовпці, помножені відповідно на . Одержимо матрицю:

Перші елементів останнього стовпця матриці дорівнюють нулю в силу рівностей (5). Що стосується інших елементів останнього стовпця, то про них нам поки нічого не відомо. Нашою задачею є доведення рівностей (6) для усіх .

Але доведення цих рівностей рівносильні доведенню того, що всі інші елементи останнього стовпця матриці також дорівнюють нулю. Покладемо для стислості (при ):

. (7)

Тоді матрицю можна переписати так:

.

Матриця отримана з за допомогою елементарних перетворень, тому ранг також дорівнює . Але в такому випадку всі мінори порядку дорівнюють нулю. Зокрема, дорівнює нулю і мінор -го порядку, складений зі стовпців з номерами і з рядків з номерами (де -будь-які з чисел ), тобто

.

Розкладаючи цей визначник за елементам останнього стовпця, одержимо:

.

Але , тому отримана нерівність свідчить про те, що . Таким чином, усі числа (7) дорівнюють нулю, а отже, справедливі рівності (6). Це доводить, що всякий розв’язок системи (4) задовольняє всім рівнянням системи (1).

Встановлено, що системи (1) і (4) рівносильні. Питання про існування розв’язків у системі (1) зведено до питання про існування розв’язків у системі (4).

Якщо , то система (4) є система рівнянь з невідомими з не рівним нулю визначником ( ). Відповідно до теореми Крамера вона має єдиний розв’язок. Отже, система (1) також має єдиний розв’язок.

У випадку невідомим надамо довільні значення , і розглянемо систему:

.

Визначник цієї системи рівнянь з невідомими не дорівнює нулю, а тому вона має єдиний розв’язок:

.

Сукупність чисел буде, мабуть, розв’язком системи (4). Так що в цьому випадку система (4) має нескінченну множину розв’язків (адже значення для невідомих можна вибрати нескінченним числом способів). Отже, система (1) при також має нескінченно багато розв’язків. Таким чином, якщо , то система (1) сумісна.

Теорема Кронекера-Капеллі доведена цілком.

З доведення теореми Кронекера-Капеллі легко одержати відповідь на питання про число розв’язків (у випадку її сумісності).

Поиск по сайту: