Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Умови сумісності і несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі



Дослідимо в загальному виді довільну систему лінійних рівнянь з невідомими (1).

Розглянемо матрицю цієї системи і її розширену матрицю :

.

 

Ясно, що ранги цих матриць зв’язані нерівністю , при цьому ранг матриці може бути лише на одну одиницю більше .

 

Було встановлено, що ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків. Тому, якщо рядки розширеної матриці , тобто рівняння системи (1) лінійно незалежні, то ранг матриці дорівнює числу її рівнянь , якщо лінійно залежні, то .

Питання про сумісність системи (1) цілком у загальному виді розглядається наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних рівнянь була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

 

Доведення.

Необхідність.Нехай система (1) сумісна і – який-небудь її розв’язок. Тоді мають місце рівності:

(2)

 

У розширеній матриці системи (1) виконаємо наступні елементарні перетворення. З останнього стовпця віднімемо перший стовпець, помножений на , другий, помножений на і т.д., нарешті на -й стовпець, помножений на . Одержимо матрицю:

 

. (3)

У силу (2) останній стовпець (3) складається з нулів.

Тому що матриця виходить із за допомогою елементарних перетворень, то . З іншого боку, відрізняється від тільки стовпцем з нулів, тому . Отже, і необхідна умова теореми доведена.

Достатність. Припустимо, що ранги матриць і рівні і доведемо, що система (1) сумісна.

Нехай ранг матриці позначається через . Серед мінорів -го порядку матриці мається мінор, відмінний від нуля. Не порушуючи спільності міркування можна вважати, що відмінний від нуля мінор -го порядку розташований у лівому верхньому куті:

.

(Це завжди можна зробити за допомогою зміни нумерації невідомих і перестановок рівнянь у системі).

Виділимо в системі (1) перші рівнянь і складемо з них нову систему:

 

(4)

 

Помітимо, що у випадку система (4) буде збігатися із системою (1).

Покажемо, що системи (1) і (4) рівносильні (при виконанні умов ).

Той факт, що кожний розв’язок системи (1) (якщо він існує) є також і розв’язком системи (4), очевидний. Необхідно перевірити, що і, навпаки, кожний розв’язок системи (4), якщо він існує, є також розв’язком системи (1).

Нехай – довільний розв’язок системи (4), таким чином мають місце рівності.

 

(5)

 

Числа задовольняють, звичайно, першим рівнянням системи (1). Ми повинні переконатися, що вони задовольняють і останнім рівнянням, тобто, що при справедливі рівності:

 

. (6)

Розглянемо розширену матрицю системи:

 

і виконаємо її як і при доведенні необхідності, елементарні перетворення: з останнього стовпці віднімемо всі інші стовпці, помножені відповідно на . Одержимо матрицю:

 

Перші елементів останнього стовпця матриці дорівнюють нулю в силу рівностей (5). Що стосується інших елементів останнього стовпця, то про них нам поки нічого не відомо. Нашою задачею є доведення рівностей (6) для усіх .

Але доведення цих рівностей рівносильні доведенню того, що всі інші елементи останнього стовпця матриці також дорівнюють нулю. Покладемо для стислості (при ):

 

. (7)

 

Тоді матрицю можна переписати так:

.

Матриця отримана з за допомогою елементарних перетворень, тому ранг також дорівнює . Але в такому випадку всі мінори порядку дорівнюють нулю. Зокрема, дорівнює нулю і мінор -го порядку, складений зі стовпців з номерами і з рядків з номерами (де -будь-які з чисел ), тобто

.

Розкладаючи цей визначник за елементам останнього стовпця, одержимо:

.

Але , тому отримана нерівність свідчить про те, що . Таким чином, усі числа (7) дорівнюють нулю, а отже, справедливі рівності (6). Це доводить, що всякий розв’язок системи (4) задовольняє всім рівнянням системи (1).

Встановлено, що системи (1) і (4) рівносильні. Питання про існування розв’язків у системі (1) зведено до питання про існування розв’язків у системі (4).

Якщо , то система (4) є система рівнянь з невідомими з не рівним нулю визначником ( ). Відповідно до теореми Крамера вона має єдиний розв’язок. Отже, система (1) також має єдиний розв’язок.

У випадку невідомим надамо довільні значення , і розглянемо систему:

 

.

Визначник цієї системи рівнянь з невідомими не дорівнює нулю, а тому вона має єдиний розв’язок:

 

.

 

Сукупність чисел буде, мабуть, розв’язком системи (4). Так що в цьому випадку система (4) має нескінченну множину розв’язків (адже значення для невідомих можна вибрати нескінченним числом способів). Отже, система (1) при також має нескінченно багато розв’язків. Таким чином, якщо , то система (1) сумісна.

Теорема Кронекера-Капеллі доведена цілком.

З доведення теореми Кронекера-Капеллі легко одержати відповідь на питання про число розв’язків (у випадку її сумісності).




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.