Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Властивості мішаного добутку векторів



1. ♦ Мішаний добуток дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли співмножники компланарні.

2. ♦ Якщо в правому в ортонормованому базисі , вектори , , , то мішаний добуток векторів

.

3. ♦ Базис є правим тоді і тільки тоді, коли мішаний добуток .

4. ♦ Якщо в мішаному добутку два множники однакові, то він дорівнює .

5. ♦ Якщо вектори записані у вигляді: ; ; , то

.

6. ♦ Об’єм паралелепіпеду, побудованого на некомпланарних векторах , , , (рис. 2.12) дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів.

7. ♦ Мішаний добуток лінійний по кожному з співмножників.

 

2.3.4. Мішаний добуток векторів в координатній формі. Умова компланарності векторів

Нехай дані вектори , , .Знайдемо спочатку проекції векторного добутку , вони дорівнюють:

;

.

Знаючи проекції векторного добутку і проекції співмножника , знайдемо їх скалярний добуток

.

Права частина цієї рівності являє собою розклад визначника третього порядку

.

Використовуючи необхідна і достатня умова, що до компланарності векторів , і запишеться у вигляді:

.

 

 

Задача. Дано координати вершин піраміди: , , , .

Потрібно: 1) записати вектори , і в системі орт і знайти модулі цих векторів; 2) знайти кут між векторами і ; 3) знайти проекцію вектора на вектор ; 4) знайти площу грані ; 5) знайти об’єм піраміди .

Розв’язання.

1. Відомо, що довільний вектор може бути представлений у системі орт , , за формулою:

, (1)

де – проекції вектора на координатні осі , а , і – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осей , і .

Якщо дані точки і , то проекції вектора на координатні осі знаходяться за формулами:

; ; (2)

і

. (3)

Підставляючи в (3) координати точок і , одержимо:

.

Аналогічно, підставивши в (3) координати точок і знаходимо:

,

і , знаходимо:

.

Відомо, що модуль вектора , заданого в системі орт формулою (1), обчислюєтьсяза формулою:

. (4)

Застосовуючи (4), одержимо:

;

;

.

2. Відомо, що косинус кута між двома векторами дорівнює скалярному добуткові цих, векторів, поділеному на добуток їхніх модулів. Отже,

.

3. Запишемо скалярний добуток векторів і :

.

Оскільки добуток виражає собою проекцію вектора на вектор , то маємо

,

відкіля

.

Вектори і , а також модуль вектора знайдені раніше в п. 1. Підставляючи ці дані в (5), одержимо

.

Таким чином, проекція вектора на вектор дорівнює .

4. Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Позначимо векторний добуток вектора на вектор через вектор . Тоді, як відомо, модуль вектора виражає собою площу паралелограма, побудованого на векторах і .

Отже, площа грані дорівнює половині модуля вектора ,тобто

.

;

;

(од.2)

Відомо, що об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах, дорівнює абсолютній величині їхнього мішаного добутку. Якщо вектори, що перемножуються, розкладені по ортонормованому базису

; ; ,

то мішаний добуток цих векторів знаходиться за формулою

. (6)

Застосовуючи (6), визначимо мішаний добуток векторів , і .

.

Отже, об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , дорівнює . Оскільки об’єм шуканої піраміди дорівнює одній шостий об’єму знайденого паралелепіпеда, то

.

 

 

Питання для самоконтролю:

1. Скалярні та векторні величини. Лінійні дії з векторами: додавання, віднімання, множення вектора на число. Проекції вектора на осі.

2. Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис. Розкладання вектора по ортонормованому базису. Довжина вектора. Напрямні косинуси вектора.

3. Лінійні дії з векторами, заданими розкладом в ортонормованому базисі. Поділ відрізка в даному відношенні. Умови колініарності векторів.

4. Скалярний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості.

5. Скалярний добуток векторів в координатній формі. Умови перпендикулярності двох векторів. Кут між векторами.

6. Векторний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості.

7. Векторний добуток векторів в координатній формі.

8. Мішаний добуток векторів, його геометричний зміст і властивості.

9. Мішаний добуток векторів в координатній формі. Умова компланарності трьох векторів.

 

 

Тести до розділу 2

1. Вказати формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами:

а) ; б) ; в) .

2. Вказати формулу косинуса кута між векторами

а) ; б) ; в) .

3. Якими повинні бути вектори і , щоб мало місце співвідношення:

.

4. З’ясувати, які з наведених трійок векторів утворюють базис в просторі :

1) , , ;

2) , , ;

3) , , .

5. Дано точки , , , . Чи можуть вони бути вершинами трапеції?

6. При якому значенні вектори і перпендикулярні?

7. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах , .

8. Знайти роботу сили при переміщенні її на відстань , якщо , , .

9. Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершин: , , .

10. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , .

 

Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.