Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язання.

Крок 1.

Оскільки , то помноживши перший рядок матриці на , , і додаючи отримані рядки відповідно до другого, третього і четвертого рядків виключимо змінну з усіх рядків, починаючи з другого

~ ~

В отриманій новій матриці , тому поміняємо місцями другий і третій рядки.

~ ~ ~

Крок 2.

Оскільки тепер , то помноживши другий рядок на , а четвертий на і складаючи, одержимо

~ ~

Крок 3.

Враховуючи, що , множимо третій рядок на , а четвертий на і складаємо, одержимо

~ .

Перейдемо від матричного запису до запису у виді системи.

.

Використовуючи зворотний хід методу Гаусса, знайдемо з четвертого рівняння ,

із третього рівняння ,

із другого рівняння ,

з першого рівняння .

Тобто розв’язком системи є .

Приклад 2. Методом Гаусса розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язання. Перетворимо розширену матрицю системи:

~ ~ .

Отже, рівняння, що відповідає третьому рядку матриці, суперечливе, воно привелося до невірної рівності , тому дана система несумісна.

1.7. Система лінійних рівнянь з невідомими. Умови сумісності і несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі

1.7.1. Система лінійних рівнянь з невідомими. На які питання дає відповіді теорія лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:

(1)

У загальному випадку число рівнянь у системі не обов’язково співпадає з числом невідомих: може бути менше, може дорівнювати або бути більшим за число .

Числа (дійсні або комплексні) називаються коефіцієнтами системи; – вільними членами; – невідомими.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1.

Ця система двох рівнянь із трьома невідомими розв’язків не має, тому що будь-яка трійка чисел, що задовольняє першому рівнянню, не може задовольняти другому.

Приклад 2.

Легко бачити, що ця система має єдиний розв’язок: , .

Приклад 3.

Пара чисел є одним з розв’язків цієї системи трьох рівнянь із двома невідомими; – інший розв’язок. Ця система має нескінченно багато розв’язків: значення , при кожнім задовольняють системі.

Наведені приклади систем показують, що, узагалі кажучи, система може або зовсім не мати розв’язків, або мати єдиний розв’язок, або мати їх множину.

Відносно кожної системи лінійних рівнянь можуть бути поставлені наступні питання:

1 Сумісна чи ні задана система?

2 У випадку, якщо система сумісна, як визначити, скільки вона має розв’язків – один або множину?

3 Як знайти всі розв’язки системи?

Відповіді на ці питання дає теорія лінійних рівнянь.

Поиск по сайту: