Геометричні властивості скалярного добутку

5^о. Якщо і , то , коли кут – гострий і , коли кут – тупий.

6^о. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини

,

звідки

.

Щоб перемножити скалярно два вектори, треба один із них помножити скалярно на одиничний вектор, що має напрям другого і отриманий добуток помножити на довжину другого.

Скалярний добуток векторів в координатній формі. Умови перпендикулярності двох векторів. Кут між векторами

Позначимо через проекції вектора на координатні вісі; а через відповідно проекції вектора . Виразимо скалярний добуток векторів через ці проекції

.

За властивістю дистрибутивності суми векторів перемножуються як многочлени. Отже, матимемо

.

Оскільки – три взаємно перпендикулярних одиничних вектора, то , , , , , .

.

Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків однойменних проекцій.

Умова перпендикулярності двох векторів:

,

тобто

.

Кут між двома векторами обчислюється зі скалярного добутку векторів

.

Векторний і мішаний добутки векторів

Векторний добуток векторів, його означення, механічний зміст, властивості

Векторним добутком двох векторів і , називається новий вектор довжина якого чисельно дорівнює площині паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площині цих векторів і направлений в той бік, що найкоротший поворот від до біля набутого вектора відбувається проти часової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора (рис. 2.8).

Якщо то .

Із означення векторного добутку .

Векторний добуток позначається , або .

Векторний добуток дорівнює нульовому вектору в тому і тільки в тому випадку, коли по крайній мірі один з векторів є нульовим, або, якщо ці вектори паралельні (колінеарні). Таким чином, умовою колінеарності векторів є рівність нулю векторного добутку .

Зауваження. Умову колінеарності двох векторів і можна записати так:

.

Якщо вектори і перпендикулярні, то , і тому модуль векторного добутку дорівнює добутку довжин векторів співмножників:

, якщо .

В механіці часто застосовується поняття моменту сили відносно даної точки (рис. 2.9).

Якщо сила прикладена до точки , то моментом сили відносно точки називається вектор , означений за формулою

.

Із означення векторного добутку випливає, що величина моменту дорівнює величині сили, помноженої на відстань точки до прямої, вздовж якої діє сила.

Поиск по сайту: