Рівняння площини, що проходить через одну і три точки

, тоді

Вектор, , де – нормальний вектор площини (рис. 3.8).

З умови перпендикулярності двох векторів слідує . Прийнявши до уваги, що , , , і записуючи скалярний добуток векторів у координатній формі, одержимо

– рівняння площини, що проходить через одну точку.

Нехай на площині задані три точки , , , що не лежать на одній прямій (рис. 3.9). Ці точки однозначно визначають площину. Знайдемо її рівняння.

Візьмемо на площині довільну точку і визначимо вектори:

,

,

.

Оскільки усі вектори лежать в одній площині , то вони компланарні. А з умови компланарности випливає, що мішаний добуток векторів , або . Це можна записати так:

.

Одержали рівняння площини, що проходить через три точки.

Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

Нехай задані дві площини і відповідно рівняннями:

,

.

Двогранний кут між площинами визначається лінійним кутом, що дорівнює куту між нормальними векторами і цих площин. Тоді, використавши формулу скалярного добутку векторів, отримаємо

.

Якщо площини і перпендикулярні, то скалярний добуток їх нормальних векторів дорівнює нулю, тобто рівність

є умова перпендикулярності площин.

Якщо площини і паралельні, то координати нормальних векторів пропорційні, тобто умовою паралельності площин є рівність відносин:

.

Приклад 1.Скласти рівняння площини, що проходить через точки і паралельно осі .

Розв’язання.Використовуючи дослідження загального рівняння площини, можна записати, що – шукана площина. Підставивши координати точок у це рівняння, отримаємо

.

Тоді , і остаточно

.

Відповідь: .

Приклад 2.Встановити, які з наступних пар рівнянь визначають перпендикулярні площини:

1) і ;

2) і ;

3) і .

Розв’язання.Перевіряємо для кожної пари площин умову перпендикулярності .

Отже,

а) – площини з пункту 1) перпендикулярні;

б) – площини з пункту 2) перпендикулярні;

в) – площини з пункту 3) не перпендикулярні.

Приклад 3.Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат паралельно площині .

Розв’язання.Оскільки площина проходить через початок координат, то це означає, що треба використовувати рівняння площини, що проходить через точку: . А оскільки площина проходить через початок координат, то точка належить площині, значить

.

Оскільки шукана площина паралельна площини , то , , . Тоді – шукане рівняння площини.

Поиск по сайту: