Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Рівняння площини, що проходить через одну і три точки



 

, тоді

 

Вектор, , де – нормальний вектор площини (рис. 3.8).

З умови перпендикулярності двох векторів слідує . Прийнявши до уваги, що , , , і записуючи скалярний добуток векторів у координатній формі, одержимо

рівняння площини, що проходить через одну точку.

Нехай на площині задані три точки , , , що не лежать на одній прямій (рис. 3.9). Ці точки однозначно визначають площину. Знайдемо її рівняння.

Візьмемо на площині довільну точку і визначимо вектори:

,

,

.

Оскільки усі вектори лежать в одній площині , то вони компланарні. А з умови компланарности випливає, що мішаний добуток векторів , або . Це можна записати так:

 

.

 

Одержали рівняння площини, що проходить через три точки.

 

Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

Нехай задані дві площини і відповідно рівняннями:

,

.

 

Двогранний кут між площинами визначається лінійним кутом, що дорівнює куту між нормальними векторами і цих площин. Тоді, використавши формулу скалярного добутку векторів, отримаємо

 

.

Якщо площини і перпендикулярні, то скалярний добуток їх нормальних векторів дорівнює нулю, тобто рівність

є умова перпендикулярності площин.

Якщо площини і паралельні, то координати нормальних векторів пропорційні, тобто умовою паралельності площин є рівність відносин:

.

 

Приклад 1.Скласти рівняння площини, що проходить через точки і паралельно осі .

Розв’язання.Використовуючи дослідження загального рівняння площини, можна записати, що – шукана площина. Підставивши координати точок у це рівняння, отримаємо

 

.

Тоді , і остаточно

 

.

Відповідь: .

 

Приклад 2.Встановити, які з наступних пар рівнянь визначають перпендикулярні площини:

1) і ;

2) і ;

3) і .

 

Розв’язання.Перевіряємо для кожної пари площин умову перпендикулярності .

Отже,

а) – площини з пункту 1) перпендикулярні;

б) – площини з пункту 2) перпендикулярні;

в) – площини з пункту 3) не перпендикулярні.

 

Приклад 3.Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат паралельно площині .

 

Розв’язання.Оскільки площина проходить через початок координат, то це означає, що треба використовувати рівняння площини, що проходить через точку: . А оскільки площина проходить через початок координат, то точка належить площині, значить

.

Оскільки шукана площина паралельна площини , то , , . Тоді – шукане рівняння площини.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.