Елементарні перетворення матриці. Обчислення рангу матриці

Назвемо елементарними перетвореннями матриці наступні:

1. Відкидання нульового рядка (стовпця).

2. Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю.

3. Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4. Додавання до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

5. Транспонування матриці.

Теорема.Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

При вивченні властивостей визначників було показано, що при перетвореннях квадратних матриць їхні визначники або зберігаються, або множаться на число, не рівне нулю. У результаті зберігається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів даної матриці, тобто її ранг не змінюється.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого східчастого виду, коли при обчисленні її рангу не виникає труднощів.

Матриця називається східчастою, якщо вона має вигляд:

, (1)

де , ; .

Зауваження. Умова завжди може бути досягнута транспонуванням матриці.

Очевидно, що ранг східчастої матриці дорівнює тому що містить мінор - го порядку; не рівний нулю:

.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, узагалі кажучи, рівними, але їхні ранги рівні. Якщо матриці й еквівалентні, то це записується так: .

Канонічною матрицеюназивається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять підряд кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад:

.

За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.

Для рангів матриць справедливі наступні співвідношення:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , якщо – квадратна матриця і ;

6. , де – число стовпців матриці або рядків матриці .

Обчислення рангу методом обведення

Викладемо ще один спосіб обчислення рангу матриці, який не потребує приведення її до канонічного виду.

Теорема. Нехай матриця має відмінний від нуля мінор порядку і всі мінори - го порядку матриці , що містять (обрамляючі мінори), дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює .

Поиск по сайту: