Матриці. Основні поняття. Види матриць

Однією з найважливіших задач математики є дослідження і розв’язання систем рівнянь першого степеня. Нехай система містить невідомих , що зв’язують рівнянь - го степеня (число рівнянь може не співпадати з числом невідомих). В загальному вигляді цю систему можна записати так:

Матрицею розміру називається прямокутна таблиця чисел, яка має рядків і стовпців. Числа, які складають матрицю, називаються елементами матриці.

Матриці позначаються прописними (заголовними) буквами латинського алфавіту: ,..., а для позначення елементів матриці використовуються малі (рядкові) літери з подвійною індексацією: , де – номер рядка, – номер стовпця.

Наприклад, матриця

(1)

або в скороченому запису: , ; .

Наприклад,

.

Поряд з круглими дужками використовуються і інші позначення матриці:

, .

Дві матриці й одного розміру називаються рівними, якщо вони співпадають почленно тобто: для ; ( – квантор загальності – означає для будь-яких).

Матриця , що складена з коефіцієнтів при невідомих системи, називається основною матрицею системи. Таблицю

, (2)

яка містить і стовпець з вільних членів системи, називають розширеною матрицею системи.

Види матриць

Матриця, що складається з одного рядка – називається матрицею-рядком (вектор-рядком), а з одного стовпця – матрицею-стовпцем (вектор-стовпцем).

Наприклад,

– матриця-рядок;

– матриця-стовпець.

Матриця називається квадратною -го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює . Наприклад,

– квадратна матриця третього порядку.

Число рядків, (а отже і число стовпців) квадратної матриці називаєтьсяпорядком матриці.

Елементи матриці , у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка , називаються діагональними й утворюють головну діагональ матриці.

Для квадратної матриці головну діагональ утворюють елементи .

Якщо всі недіагональні елементи квадратної матриці дорівнюють нулю, то матриця називається діагональною. Наприклад,

– діагональна матриця третього порядку.

Якщо в діагоналі матриці -го порядку всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною -го порядку, вона позначаються буквою .

– одинична матриця третього порядку.

Матриця будь-якого розміру називається нульовою або нуль-матрицею, якщо всі елементи дорівнюють нулю:

.

Дії над матрицями

Над матрицями, як і над числами, можна робити ряд операцій, причому деякі з них аналогічні операціям над числами, а деякі – специфічні.

1) Множення матриці на число

Добутком матриці на число (лямбда) називається матриця , елементи якої , для ; .

Наприклад, якщо , то .

Наслідок. Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак матриці. Наприклад,

.

В окремому випадку, добуток матриці на число є нульова матриця, тобто .

2) Додавання матриць

Сумою двох матриць і однакового розміру називається матриця , елементи якої , для ; (тобто матриці складаються поелементно).

Наприклад, , , тоді .

3)Віднімання матриць

Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції:

.

4) Множення матриць

Множення матриці на матрицю визначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої (В цьому випадку матриця називається погодженоюз матрицею ).

Тоді добутком матриці називається така матриця , кожен елемент якої , дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці :

,

де ; .

Приклад. Обчислити добуток матриць , де .

Розв’язання.

а) Знайдемо розмір матриці-добутку (якщо добуток матриць можливий):

;

б) Обчислимо елементи матриці-добутку , помноживши елементи кожного рядка матриці на відповідні елементи стовпців матриці :

.

Багато властивостей, які належать до операцій над числами, справедливі і для операцій над матрицями (що випливає з означення цих операцій).

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Однак є і специфічні властивості матриць. Так, операція множення матриць має деякі відмінності від множення чисел:

а) Якщо добуток матриць існує, то після перестановки співмножників місцями добуток матриць може і не існувати. Дійсно, в останньому розглянутому прикладі отримали добуток матриць , а ось добуток не існує, оскільки число стовпців першої матриці не співпадає з числом рядків другої матриці.

б) Якщо навіть добутки і існують, то вони можуть бути різних розмірів.

Приклад. Знайти добуток матриць і , якщо , .

Розв’язання.

; , отже, .

в) У випадку, якщо обидва добутки і існують й обидва мають матриці однакового розміру (це можливо тільки при множенні квадратних матриць і однакового порядку), комутативний (переставний) закон множення, узагалі говорячи, не виконується, тобто .

В окремому випадку комутативним законом володіє добуток будь-якої квадратної матриці -го порядку на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює :

.

Таким чином, одинична матриця відіграє при множенні матриць ту ж роль, що й число при множенні чисел.

г) Добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто, з того, що не випливає, що матриця , або матриця .

Наприклад,

, але .

5). Піднесення до степеня

Цілим додатним степенем квадратної матриці називається добуток матриць, які дорівнюють .

.

Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.

За означенням маємо . Неважко показати, що , .

Приклад. Знайти , де .

Розв’язання. .

Варто відмітити, що з рівності , ще не випливає, що .

6). Транспонування матриці

Транспонуванням матриці називається перехід від матриці до матриці , у якій рядки і стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку.

З означення випливає, що якщо матриця має розмір , то транспонована матриця буде мати розмір .

Властивості операції транспортування:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Визначники

Поиск по сайту: