Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Простые и составные высказывания



Есть два вида высказываний: 1) простые и 2) составные, или сложные.

Под простым понимают высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания. Высказывания А и В предыдущего примера — простые высказывания. Про про­стое высказывание всегда однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой.

Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок, или логических операций (союзов «и», «или», слов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда...»), можно строить сложные высказывания.

Например, из высказываний А {6 < 7}, В = {число 6 про­стое}, используя логические операции, можно образовать следу­ющие сложные высказывания:

С {6 < 7 или, число 6 простое},

D {6 < 7 и, число 6 простое},

Е {6 < 7 тогда и только тогда, когда, число 6 простое},

F {6 < 7, то число 6 простое}.

Отметим, что сложные высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые никак не связаны между со­бой по смыслу. Например, высказывание

G {если слон — насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами} составлено при помощи логической операции «если..., то...»

из двух высказываний, между которыми нет никакой смысло­вой связи.

Сложные высказывания, как и простые, всегда только истин­ны или только ложны. Истинность или ложность сложного вы­сказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие ло­гические связки (операции) использованы для образования слож­ного высказывания, и, во-вторых, тем, какие из простых выска­зываний, образующих сложное, истинны и какие — ложны.

 

Логические операции

Операции над высказываниями — логические операции — обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинно­сти.

Операция отрицания,или отрицание высказывания. Для каждого высказывания А может быть сформировано новое вы­сказывание А (читается «не А», или «не верно, что А») — от­рицание высказывания А. Высказывание А истинно, когда А — ложно, и ложно, когда А — истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

 

А А

Отрицание — одноместная, или унарная, операция. После­дующие операции — двухместные, или бинарные.

Например, если А {3 + 5 = 8} — истинное высказывание, то А= {3 + 5 8} — ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, если В {в комнате холодно}, то В= {в комнате не холодно}, но при этом высказывание D {в комнате жарко} отрицанием В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (произведением) этих высказываний: С = А В (выражение А В читается «А и В»).

Произведение С = А В истинно только в том случае, когда и А, и В одновременно истинны.

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А В С = А В

Пусть, например, А = {12 делится на 3}, В= {12 делится на 4}. Тогда высказывание С = А В = {12 делится на 3 и на 4} — истинно, так как истинно каждое из высказываний А и В, со­ставляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для несколь­ких высказываний как связку высказываний, объединенных со­юзом «и». Конъюнкция из п высказываний — новое высказы­вание, причем высказывание

А=А1 А2 …Аn

имеет значение «истина», если и А1, и А2, и ... Аn истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А1 {5>3}, А2 {8 = 3}, А3 {отец стар­ше сына}, А4 {Мурманск севернее Смоленска}. Тогда выска­зывание А1 А3 А4 {8 = 3} и отец старше сына и Мурманск севернее Смоленска} — ложное, в то время как высказывание А2 А3 А4 {5 > 3 и отец старше сына и Мурманск севернее Смоленска} — истинное.

Операция дизъюнкции,или дизъюнкция высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (суммой) этих вы­сказываний: С = А VВ (выражение А VВ читается «А или 5»).

Сумма С = А VВ является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А В С = АV В

Пусть, например, А {7<9}, В {3+5 = 8}. Тогда высказывание С = АV В {7<9 или 3+5 = 8} – истинно, так как истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединенных союзом «или»:

А=А1V А2VV Аn.

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности,или эквивалентность выска­зываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «тогда и только тогда, когда...», называ­ют эквивалентностью высказываний А и В: С = А В.

Для эквивалентности используют знак <=> (или ~).

Эквивалентность С = А <=> В представляет собой истинное высказывание, когда высказывания и А, и В оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А В С = А В

Пусть А {число 3п является четным}, В {число п являет­ся четным}.

Высказывание С {число 3п является четным тогда и только тогда, когда п — четное число} есть эквивалентность высказываний А и В: С = А <=> В.

Операция импликации,или импликация высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «если..., то...», называют импликацией высказы­ваний А и В: С = А => В (выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация С = А=> В ложна только в том случае, когда А — истинное высказывание, а В — ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».

Таблица истинности для операции импликации:

А В С = А => В

Первый член импликации А=> В — высказывание А — назы­вается посылкой, или условием, второй член В — заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для имплика­ции, в отличие от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и экви­валентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответству­ет обычному пониманию слов «если..., то...» и «следует». Из третьей и четвертой строк таблицы истинности для имплика­ции вытекает, что если А — ложно, то, каково бы ни было В, высказывание А => В считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует все что угодно.

Например, утверждения «если 6 — простое число, то 7 < 6» или «если 7 < 6, то существуют ведьмы» являются истинны­ми. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон — насекомое, то Антарктида покрыта тропичес­кими лесами».

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.