Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А=В.
Если множества не равны, то пишут А В.
Запись равенства двух множеств А=В эквивалентна записи А В, или В А.
Например, множество решений уравнения х2-5х+6=0 содержит те же самые элементы, что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны.
Пересечение (умножение) множеств
Множество D, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается D=А В (рис.3.1).
Рис.3.1
Рассмотрим два множества: Х= 0,1,3,5 и Y= 1,2,3, 4 . Числа 1 и 3 только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество 1,3 содержит все общие для множества Х и Y элементы. Таким образом, множество 1,3 является пересечением рассмотренных множеств Х и Y:
1,3 = 0,1,3,5 1,2,3, 4 .
Для отрезка и интервала(0;3) пересечением является промежуток (0;1 .
Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.
Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть множество учеников восьмых классов, являющихся членами химического кружка.
Пересечение множеств (и другие операции — см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума Венн предложил использовать круги и прямоугольники. При этом универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. В дальнейшем такие схемы стали называть диаграммами Эйлера-Венна.
Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение — пустое множество, и пишут А В = .
Например, пересечение множества четных чисел с множеством нечетных чисел пусто.
Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: А = .
Можно рассматривать пересечение п множеств:
Аi=A1 A2 … An при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества А1, А2, ... Аn .
Например, если A, В и С — соответственно множества учеников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пересечение этих множеств есть множество учеников этого класса, решивших все три задачи.