Теорема сложения вероятностей

2.Вероятность суммы (объединения) двух совместныхсобытий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления, то есть формулой: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АžВ).

Следствие 1.Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1, где события А, В, ..., N образуют полную группу.

Действительно, так как события А, В, ..., N образуют полную группу, то событие А+В+...+N по правилу 1 является достоверным и Р(А+В + ... +N)=1. Вспомним, что события, образующие полную группу, являются несовместными. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А+В+...+N) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(N). Из двух полученных равенств делаем вывод: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1.

Рассмотрим случайное событие А и противоположное ему . Эти события составляют полную группу и, значит, их сумма является достоверным событием. Кроме того, события А и - несовместные. Поэтому P(A+ )=P(A)+P( )=1. Отсюда вероятность события равна: P( )=1 - P(A).

При решении некоторых задач на нахождение вероятности случайного события пользуются следствием 2. В этих задачах бывает намного легче посчитать не вероятность заданного случайного события, а вероятность противоположного ему.

Пример 14. (Задача Шевалье де Мере).В конце XVII века во Франции была популярна азартная игра в кости, условие которой состояло в следующем. Пара костей бросалась 24 раза. Можно было делать ставку либо на появление «двойной шестерки», по крайней мере, один раз, либо против этого результата. Французский вельможа Шевалье де Мере, азартный игрок, попытался математически подсчитать, на что выгоднее ставить, используя известные к этому времени правила теории вероятности. Вычисления привели его к заключению, что в 24 бросках вероятность появления «двойной шестерки» хотя бы один раз больше 0,5. Поэтому выгоднее ставить на появление этого случайного события. Будучи абсолютно уверенным в своих вычислениях, Шевалье де Мере сомневался в истинности использованных математических теорем. Для проверки полученного результата он произвел достаточно большое количество испытаний данной игры. Оказалось, что «двойная шестерка» выпала меньше, чем в 50 % партий. Получив очевидное расхождение практического и теоретического результатов, де Мере написал гневное письмо известному математику Блезу Паскалю. В нем утверждалось, что математика как наука никуда не годится.

Паскаль решил задачу де Мере и его ответ был следующим: вероятность появления двойной шестерки хотя бы один раз при 24 бросках двух костей равна 0,491, что меньше половины. Оказалось, что де Мере просто совершил ошибку в математических подсчетах, а его эмпирический результат согласуется с правильным ответом теории вероятности.

Решение Паскаля было следующим. Количество элементарных исходов при однократном броске двух костей равно 6×6=36. При двух бросках, согласно правилу умножения исходов в комбинаторике, число элементарных исходов 36×36, при 24 бросках - . Для решения задачи нужно подсчитать количество благоприятных исходов, в которых двойная шестерка появится хотя бы раз. Однако значительно проще определить число исходов, в которых «двойная шестерка» вообще не появится. При одном броске таких исходов 35, а в серии 24 бросках . Таким образом, вероятность не появления шестерок на двух костях . А вероятность искомого события, противоположного этому, 1 - 0,509= 0,491.

Можно предположить, что де Мере не применял данную формулу и подсчитывал количество элементарных исходов, в которых появится хотя бы одна «двойная шестерка», напрямую. Произвести же ряд вычислений числа исходов с шестерками сначала только в одной партии из 24, затем в двух, трех, четырех и так далее без ошибки ему не удалось.

Пример 15. Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем ве­роятность поражения цели первым стрелком – 0,8, а вторым стрелком – 0,7. Оба стрелка стреляют один раз независимо друг от друга. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из них?

Решение (как окажется только начало).

Обозначим случайное событие А — попадание в цель первым стрелком, В — попадание в цель вторым стрел­ком. Нам необходимо найти вероятность суммы событий А + В, т.е. поражение цели хотя бы одним стрелком. Если мы просто сложим вероятности Р(А) и Р(В), то получим значение вероятности 1,5, большее единицы. Что же мы сделали неправильно? Оказывается, события А и В – совместные. Действительно, в одном и том же испытании (одновременном выстреле) возможны попадание в цель и первым, и вторым стрелком. Значит, для расчета из суммы вероятностей событий А и В необходимо вычесть вероятность произведения этих событий.