Кривая нормального распределения

При анализе распределения результатов измерений всегда делают предположение о том распределении, которое имела бы выборка, если бы число измерений было очень большим. Такое распределение (очень большой выборки) называют распределением генеральной совокупности или теоретическим, а распределение экспериментального ряда измерений — эмпирическим.

Теоретическое распределение большинства результатов измерений описывается формулой нормального распределения, которая впервые была найдена английским математиком Муавром в 1733 г.:

Это математическое выражение распределения позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рис.1), которая симметрична относительно центра группирования (обычно это значение моды или медианы). Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов. Заштрихованная область графика на рис.5.5 отражает процент результатов измерений, находящихся между значениями х₁ и х₂.

Рис. 5.5. Кривая нормального распределения.

Введя обозначение , которое называется нормированным или стандартизованным отклонением, получают выражение для нормированного распределения:

Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами т и , то:

На практике удобно использовать правило «три сигма», ко­торое гласит: с вероятностью, большей, чем 0,997, случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет при­нимать значения в промежутке (т_х - 3 _х, т_х + 3 _х).

В заключение этой темы проведем аналогии между основными понятиями и операциями теории множеств, математической логики и теории вероятностей.

Операции объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний, сумма и произведение событий обладают коммутативным, ассоциативным, дистрибутивным свойствами. Это еще раз подчеркивает глубокую связь между отдельными разделами математики, переход этой науки на высокий уровень абстракции изучения объектов.

Вопросы для самопроверки:

1) Приведите примеры достоверных, невозможных, равновозможных, зависимых, независимых событий.

2) Чему равна вероятность достоверного и невозможного событий?

3) Опишите алгоритм применения классической формулы для вычисления вероятностей при решении задач.

4) Какие события образуют полную группу событий?

Упражнения для самостоятельного выполнения:

1. Из колоды в 36 карт берут наугад 6 карт. Какова вероятность того, что все карты старше десятки?

2. Курсант знает 30 из 40 вопросов программы. Какова ве­роятность того, что он ответит: а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?

3. Из колоды в 36 карт наугад берут 6 карт. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть; б) все карты – крас­ные.

4. Из урны с 8 белыми и 6 черными шарами случайным образом берут 4 шара. Найти вероятности событий:

а) все взятые шары – белые;

б) взято 2 черных шара;

в) взято белых шаров больше, чем черных;

г) взято белых шаров меньше, чем черных.

5. В первой урне находятся 5 белых и 3 чёрных шара, во второй – 4 белых и 4 чёрных шара, а в третьей – 3 белых и 5 чёрных шара. Наугад выбирается одна из урн, из нее наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется чёрным?

6. Два стрелка стреляют по одной и той же мишени независимо друг от друга. Ве­роятность попадания в мишень у первого стрелка равна 0,4, а у второго - 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

7. В урне 2 белых и 4 черных шара. 2 игрока достают из этой урны поочередно по одному шару, не возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар игрок, начинающий игру.

8. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

9. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 хорошо, 4 посредственно и 2 плохо. В экзаменационных билетах имеется 40 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все 40 вопросов, подготовленный хорошо 35, подготовленный посредственно 25 и подготовленный плохо 10 вопросов. Некоторый студент ответил на все 3 вопроса билета. Найти вероятность того, что он подготовлен хорошо.

10. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго 30%, с третьего 20%, с четвертого 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым 1%, третьим 0,5% и четвертым 0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.

Тема 6. Элементы математической статистики

Поиск по сайту: