Отношения и соответствия. Функции как соответствия

Пусть А и В два множества. Тогда множество С={(a,b)|aЄA,bЄB} всех пар (a,b), где a и b независимо друг от друга принимают все значения соответственно из множеств А и В , называется декартовым произведением множеств А и В и обозначается АхВ. Если А и В – конечные множества, содержащие соответственно m и n элементов, то сразу видно, что множество АхВ содержит mn элементов.

Самостоятельный интерес представляет частный случай, когда множества А и В совпадают: А=В. Чтобы его рассмотреть, введем новый термин.

Упорядоченной парой элементов множества А будем называть объект (а1,а2), состоящий из двух (не обязательно различных) элементов а1,а2ЄA, с указанием, какой из них следует считать первым, а какой – вторым. Так, например, если А={1,2,3}, то упорядоченные пары (3,2) и (2,3) следует считать по определению различными. Упорядоченные пары будем заключать в круглые скобки и обозначать жирными строчными латинскими буквами а=(а1,а2) в отличие от неупорядоченных пар, которые как и множества элементов, записываются в фигурных скобках: {а1,а2}

Назовем множество С={(а1,а2)| a1ЄA, а2ЄА} всех упорядоченных пар (а1,а2) элементов из А декартовым квадратом множества А и будем обозначать А2.

Понятие упорядоченной пары можно обобщить на n элементов: упорядоченная n-ка элементов из А – это n (не обязательно различных) элементов множества А, данных в определенной последовательности a=(a1,a2,…,an).

Упорядоченные n-ки элементов из множества А называют иногда кортежами над А.

Определение декартова произведения двух множеств естественно обобщается на случай произвольного конечного числа множеств. Если А1,А2,…,Аn –n множеств, то под декартовым произведением понимается множество С = {(a1,a2,…,an)| a1ЄA1, а2ЄА2, …,anЄ Аn} всех последовательностей (a1,a2,…,an)= a, где i-ый член последовательности, называемый i-ой координатой последовательности а, принадлежит множеству Аi. Декартово произведение С обозначается через С= А1хА2х…хАn. В случае, когда все множества А1,А2,…,Аn совпадают, говорят об n-ой декартовой степени Аnмножества А, которая, очевидно, является множеством всех упорядоченных n-к из А.

Самым важным для нас является случай, когда n=2. Всякое подмножество P АхВ декартова произведения АхВ называется соответствием из А в В. Подмножество Р А2

декартова квадрата называется бинарным отношением на множестве А.

На основе понятий соответствие и бинарное отношение в начале 20 века в математике было уточнено понятие функции.

Функция f (отображение) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y. При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y.

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения.

Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом

• наиболее часто обозначается как

y = f(x), или или ;

В теоретической математике функцию f удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого существует единственный элемент такой, что .

Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где

• множество X называется о́бластью определе́ния;
• множество Y называется о́бластью значе́ний;
• множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.

Способы задания функции:

· аналитический (в виде формулы);

· табличный:

· графический.

Поиск по сайту: