Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ШУЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики, физики и методики обучения

Основы математической обработки информации

Учебне пособие

Шуя 2012

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «ИГХТУ» Зуева Г.А,

кандидат педагогических наук, доцент Огурцова Е.Ю.

Основы математической обработки информации. Учебное пособие/Авторы-составители Замогильнова Л.В., Матюхова Д.В. – Шуя: Изд-во ФГБОУ ВПО «ШГПУ», 2012. – 120 с.

Пособие содержит необходимые теоретические сведения по основным разделам курса «Основы математической обработки информации», типовые задания с решениями и подробными комментариями хода решения, а также задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.

Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного освоения теоретических знаний, а также отработки умений решать задачи по представленным разделам и темам.

Для студентов дневного и заочного отделений, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 Педагогическое образование.

© ФГБОУ ВПО «ШГПУ», 2012.

Введение

Математизация и компьютеризация практически всех областей знания привели к тому, что математическое образование в настоящее время рассматривается как важнейшая составляющая фундаментальной подготовки бакалавра и специалиста. Поэтому согласно ФГОС по нескольким направлениям подготовки, в том числе «Педагогическое образование, «Социальная работа» введен новый предмет «Основы математической обработки информации». Дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла дисциплин.

Содержание этого предмета включает 6 основных разделов:

· Математика в современном мире: основные теории и методы математики;

· Математические средства представления информации;

· Элементы теории множеств и математической логики;

· Структуры на множестве. Элементы комбинаторики;

· Случайные события и их вероятности;

· Элементы математической статистики.

Как правило, традиционные учебники по математике не содержат теоретический материал всех этих разделов. Поэтому целью написания этого пособия явилось систематизация и изложение в доступной форме необходимого теоретического материала.

При изучении любого курса математики существенное значение имеет приобретение умений в решении задач. Необходимым условием для сознательного усвоения курса и успешной сдачи отчетности является умение решать типовые задачи, которые представлены в пособии в достаточном количестве.

Каждый раздел завершают вопросы для самоконтроля, задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельного решения.

Тема 1. Математика в современном мире: основные разделы, теории и методы математики

Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры

Слово «математика» произошло от греческого maqhma («матема»), что означает «познание», «наука», «учение путем размышления». Определить предмет исследования науки математики пытались многие крупные ученые-математики, философы, педагоги. Вплоть до XIX века подавляющее большинство из них представляли математику как науку о величинах. Рене Декарт мечтал о создании всеобщей математики — науки о мере и порядке, характерной особенностью которой является не предмет исследования, а метод, которым она получает свои результаты.

Одно из наиболее известных определений было дано Ф.Энгельсом при его исследовании философских аспектов естествознания. В работе «Анти-Дюринг» есть такие высказывания: «Математика — это наука о величинах, она исходит из понятия величины…», «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, весьма реальный материал». Последнее утверждение достаточно долго считалось наиболее полным определением математики и предмета ее исследований, поскольку не перечисляло ветви математической науки, а представляло ее общую характеристику и указывало на истоки происхождения ее понятий.

Однако со времени Ф.Энгельса в математике произошли коренные изменения. Математические методы стали широко использоваться в естественных, технических, социальных науках. Появился ряд новых областей математического знания. Сами математические дисциплины стали наиболее абстрактными.

Абстракция означает отвлечение пространственных форм и количественных отношений действительного мира от их конкретного, материального содержания. Как вытекает из рассмотренного определения, метод абстракции является одним из наиболее важных в математике. За время существования математической науки абстракция прошла ряд ступеней своего развития.

Первая ступень принадлежит ко времени зарождения математической науки. На этой ступени абстракции зародилось первое основное математическое понятие - понятие числа. Для того, чтобы перечислить какую-нибудь совокупность предметов, необходимо отождествить эти предметы друг с другом, т. е. отвлечься от бесконечного разнообразия индивидуальных качеств, которыми обладает каждый из этих предметов. (Чтобы сказать: «передо мной лежат две книги», надо отвлечься от всех индивидуальных свойств каждой из книг, создать родовое понятие «книга». Каждый отдельный представитель рода «книга» играет при счете роль «единицы»).

Так возникает сначала понятие порядкового числа – первый, второй, третий и т. д., а затем понятие количественного числа. Таким образом, первая ступень абстракции приводит к появлению натурального ряда (целых положительных чисел).

Завершает первую ступень абстракции создание символов для записи чисел – цифр. Над числами производятся простейшие операции – сложение, вычитание, умножение и деление. Это приводит в дальнейшем, в свою очередь, во - первых, к тому, что люди убеждаются, что натуральный ряд чисел неограничен, что в нем нет последнего числа, во – вторых, к необходимости расширения понятия числа, создание новых чисел, как – то: нуль, отрицательные числа.

Нечто аналогичное имело место в геометрии. Понятие фигуры – геометрического тела, а затем поверхности, линии и точки возникли путем абстрагирования от конкретных материальных тел в результате манипуляций над ними, носящих производственный характер.

Вторая ступень абстракции состоит в отвлечении от конкретного количественного значения чисел, вместо конкретных чисел рассматриваются переменные для обозначения которых вводятся буквенные символы a, b, c и т. Этим самым осуществляется переход от арифметики к алгебре. Алгебра оперирует буквенными символами, полученные результаты остаются верными для любых чисел. Это означает, что число может менять свое значение, быть переменным. Таким образом, в алгебру уже вносится элемент изменения, который выражается в явном виде в курсе математического анализа.

Алгебра завоевала свое господствующее положение не сразу. Это произошло после того, как в 1637 г. Рене Декарт написал свой известный труд «Геометрия», использовав алгебраические методы для решения геометрических задач.

На второй ступени абстракции математика находилась примерно до конца XIX века. В XX веке перед математикой возникли новые задачи, справиться с которыми без кардинального изменения своего метода было невозможно.

Теперь математики отвлеклись не только от числового содержания переменных a и b, но и от содержания операций, связывающих эти величины. Они стали рассматривать равенства, подобные a+b=b+a, отстраняясь от того, что a и b это количественные величины, и также от того, что перед нами именно сложение. Это равенство трактуется следующим образом: имеются два объекта a и b, над которыми произведена некоторая операция, причем она обладает переместительным свойством, т.е. результат останется прежним, если объекты поменять местами. Задача математики будет тогда состоять в том, чтобы, во-первых, изучить операции, обладающие подобными свойствами, а, во-вторых, установить классы объектов, удовлетворяющие таким операциям. Значит, математика переходит к новой, третьей ступени абстракции. Под a и b мы понимаем объекты гораздо большей общности, неподдающиеся простым арифметическим операциям.

В качестве примеров можно рассмотреть сложение векторов, объединение множеств, конъюнкцию высказываний, сумму событий. Три последних операции будут подробно рассмотрены в данном пособии.

Сложение векторов изучается в курсе геометрии средней школы. Суммой a+b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a. Это правило сложения называют правилом треугольника, так как слагаемые векторы a и b (если они не лежат на одной прямой) и их сумма a+b образуют треугольник. На рис.1.1 изображены вектора a и b, и их суммы a+b и b+a. Очевидно, что вектора a+b и b+a равны.

Рис. 1.1. Сложение векторов

Итак, современная математика характеризуется переходом на высшую (на данном этапе изучения) ступень абстракции. Этот уровень абстракции состоит в том, что мы абстрагируемся от качеств отдельных объектов, от конкретных количественных величин и от количественного содержания самих математических операций. Именно современная абстрактная математика, изучающая такие понятия, как множество, группа, поле, абстрактное пространство, и т.д., может разрешить многие сложнейшие задачи естествознания и техники. Исследование пространственных форм действительного мира стало частным случаем изучения абстрактных математических форм вообще. Таким путем были открыты новые закономерности, которые на прежней ступени абстракции математика не могла не только решить, но и сформулировать. Естественные науки, и прежде всего физика, ставят перед математикой все более сложные задачи и проблемы, что постоянно приводит к развитию и обогащению математики.

Современная математика включает в себя такие разделы как математический анализ, аналитическую геометрию и высшую алгебру, теорию вероятностей и математическую статистику, дифференциальные и интегральные уравнения, а также абстрактную алгебру, теорию множеств, математическую логику, топологию, теорию случайных процессов, исследование операций и многие другие разделы. Объединяющим началом для всех разделов современной математики является аксиоматический метод, который может быть использован для обоснования существа математики. В результате аксиоматических исследований XIX – XX вв. была создана единая концепция природы математических объектов. Эти объекты первоначально представляли идеализированные абстракции чувственного опыта. Потом все математические понятия были сведены к понятию числа, затем к понятию множества. В современной математике единственным математическим объектом становятся математические структуры. Общей чертой различных понятий, объединенных родовым назва­нием "математическая структура", является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Перейдем к рассмотрению сущности аксиоматического метода.

Аксиоматический метод

В любой науке, в том числе и математике, существуют основные понятия, которые принимаются за начальные (неопределяемые). К таким понятиям, например, относятся: точка в геометрии, прямая в планиметрии, плоскость в стереометрии, материя в физике, информация в информатике.

Все остальные понятия определяются, опираясь на начальные. Каждое математическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде.

При построении любой теории выделяется некоторый набор высказывания, истинность которых постулируется. Такие принимаемые без доказательства высказывания, называются аксиомами.Например, в евклидовой геометрии аксиомой является следующее утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». Способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории выводятся логическим путём, посредством доказательств, называется аксиоматическим методом.

Так, например, «Начала» Евклида начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Система, в которой каждое предложение выводится из конечного числа предложений, принятых без доказательства, называется дедуктивной.

Аксиоматический метод впервые появился в "Началах" Евклида (около 300 до нашей эры). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных научных разделов (Спиноза, Ньютон и др.).

Начиная со второй половины XIX в., в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. XX в. — как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объек­тов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций.

При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. В начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную». Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

В данном пособии рассматриваются элементы следующих математических теорий, которые можно построить аксиоматически: теории множеств, алгебры высказываний, теории вероятностей.

Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Она осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок. В последнее время большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и других, включая теории структуры и динамики научного знания.

Поиск по сайту: