Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового раз­мера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

Пример 1. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

2. Умножение матрицы на действительное число. Произ­ведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соот­ветствующего элемента матрицы А на число α.

Пример 2. Пусть даны матрица А и число α:

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

3. Приведем свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β — некоторые действи­тельные числа. Тогда:

1) А + В = В + А,

2) (А + В) + С = А + (В + С),

3) α(А + В) =αА + αВ,

4) (α + β) A = αA + βA,

5) (αβ)А = (αA)β,

6) A + О = А, где О — нулевая матрица,

7) 0А = О.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид

Сокращенная форма записи операции транспонирования мат­рицы:

Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

Нетрудно заметить две закономерности операции транспо­нирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симмет­рические матрицы — квадратные матрицы, у которых элемен­ты, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. a_ij = a_ji. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической мат­рицы.

Умножение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В разме­ром п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк _i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов _j, каждый из которых содержит по п координат:

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матри­цы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой c_ij равны скалярным произве­дениям векторов-строк _i матрицы А на векторы-столбцы _j матрицы В:

Произведение матриц А и В — матрица С — имеет размер т х k, поскольку длина п векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих век­торов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (13.4). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скаляр­ные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как ска­лярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства за­поминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей: , т.е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х k.

В операции умножения матриц есть характерная особен­ность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формиру­ющих элементы соответствующей матрицы, должны участво­вать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то име­ет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у ис­ходных сомножителей. При этом в общем случае перемноже­ния матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Решение. Здесь мы найдем произведения данных матриц АВ и ВА:

Как видно из результата, матрица произведения зависит от по­рядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2 х 2.

Решение. В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т.е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы — это частные случаи матриц: век­тор-строка длины п представляет собой матрицу с одной стро­кой и п столбцами, а вектор-столбец высоты n — матрицу с n строками и одним столбцом. Размеры данных матриц соот­ветственно 2 х 3 и 3 х 1, так что произведение этих матриц определено. Имеем

В произведении получена матрица размером 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С — мат­рицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а α — действительное число. Тогда следу­ющие свойства произведения матриц имеют место:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = AC + ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС,

4) α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

В п. 1 этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа в случае квадрат­ных матриц:

5) АЕ = А,

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единич­ную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную мат­рицу.

Поиск по сайту: