Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Разложение вектора в ортогональном базисе



 

Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый век­тор ортогонален остальным векторам базиса:

 

 

Ортогональные базисы хорошо известны и широко использу­ются на плоскости и в пространстве (рис. 12.2). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой про­цедуре, не требующей трудоемких вычислений.

 

 

Действительно, пусть требуется найти разложение произ­вольного вектора в ортогональном базисе (12.13). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

 

 

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор 1. В силу свойств 2 и 3 скалярного произ­ведения векторов имеем

 

 

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исклю­чением первого, равны нулю, т.е. коэффициент α1 определяется по формуле

 

 

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные век­торы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффи­циентов разложения вектора :

 

 

Нетрудно видеть, что соотношения (12.15) имеют смысл, по­скольку | i| ≠ 0.

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (12.13) имеют единичную длину (| i| = 1), или нормированы по своей длине. В таком случае базис назы­вают ортонормированным и координаты разложения (12.15) имеют наиболее простой вид:

 

УПРАЖНЕНИЯ

12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3 + 4 - , где = (4, 1, 3, -2), = (1, 2, -2, 3), = (10, 8, 1, -3).

12.2. Найти линейную комбинацию векторов

 

 

где , , — векторы, указанные в предыдущей задаче.

12.3. Для векторов = (2, 4, -3, 0) и = (-1, 2, 2, -5) найти их длину и угол между ними.

12.4. Вычислить ( - )2 , если |а| = 2 , |b| = 4, угол между векторами φ = 135°.

12.5. Найти координаты вектора = (2, -4, 3, 5) в ортогональ­ном базисе, состоящем из векторов

 

 

Глава 13. МАТРИЦЫ

Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

 

 

называется матрицей. Здесь aij — действительные числа (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2, ..., n), называемые элементами матрицы, i и j — соответственно индексы строки и столбца. При этом произведение m х n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Часто матрицу (13.1) запи­сывают в сокращенном виде:

 

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В том случае, когда m = n (число строк равно числу столб­цов):

 

 

матрица А называется квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов a11, a22,. …, апп на­зывается главной диагональю квадратной матрицы. Квадрат­ная матрица называется диагональной, если ее элементы удов­летворяют условию

 

 

 

т.е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали; матрица в этом случае имеет вид

 

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

 

Определение 2. Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответ­ствующие элементы равны: aij = bij , i = 1, 2,..., m, j = 1, 2, .... n.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.