Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.
Определение 1. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг r < п.
Определение 2. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:
Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.
УПРАЖНЕНИЯ
13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где
13.2. Даны следующие матрицы:
Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С2,г) матрицу С3.
13.3. Дана матрица . Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами этой матрицы, и указать соответствующие собственные значения:
Глава 14. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Операции над определителями и основные свойства
Понятие определителя
Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.
Пусть дана матрица
тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле
Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов на главной диагонали вычитается произведение элементов на второй диагонали матрицы А. Нетрудно видеть, что формула (14.1) представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А, стоящих в разных строках и разных столбцах.
В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Правило вычисления определителя третьего порядка следующее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали; со знаком минус — произведения, сомножители которых стоят на не главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 14). Заметим, что каждое слагаемое в формуле (14.2) содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца соответствующей матрицы.
Рассмотрим определитель n-го порядка
Теперь с учетом подмеченных выше закономерностей перейдем к определению для общего случая.
Определение 1. Определителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n! произведений n-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.