Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Характеристическое уравнение



 

В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть собственный вектор квадратной матрицы А порядка n. Тогда имеет место матричное уравнение

 

 

или

 

 

где λ — собственное значение матрицы А, а E и — соответ­ственно единичная матрица и нулевой вектор-столбец. Урав­нение (15.17) эквивалентно системе однородных уравнений

 

 

В уравнениях (15.18) aij — элементы матрицы А, xj — коорди­наты собственного вектора х. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (15.18) должна иметь ненулевое решение, т.е. в силу следствия 2 (см. выше) определитель этой системы равен нулю:

 

 

Определитель системы однородных уравнений (15.18) называ­ется характеристическим многочленом, а уравнение (15.19) — характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (15.19) имеет степень n относительно неизвест­ной λ. Его корни являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однород­ной системы (15.18).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

Решение. Характеристическое уравнение для этой матри­цы имеет вид

 

 

откуда, раскрывая определитель, получаем

 

 

Корни этого уравнения суть λ1 = 2, λ2 = 5. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные зна­чения в систему однородных уравнений (15.18) при n = 2 с со­ответствующими элементами заданной матрицы А. Собствен­ный вектор, соответствующий собственному значению λ1 = 2, является решением системы

 

 

Пo сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель сис­темы равен нулю. Полагая x2 = b свободной переменной, по­лучаем первый собственный вектор 1 = (—2b, b) = b (-2, 1). Подстановка второго собственного значения λ2 = 5 приводит к системе уравнений

 

 

которая через свободную переменную x2 = с определяет второй собственный вектор матрицы А: 2 = (с, с) = с (1, 1).

Поскольку b и с — произвольные числа, то одному соб­ственному значению может соответствовать несколько собст­венных векторов разной длины. Например, собственные векто­ры, соответствующие фундаментальным решениям однород­ных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид 1 = (-2, 1), 2 = (1, 1).

УПРАЖНЕНИЯ

 

Решить методом Крамера системы линейных уравнений.

 

 

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

 

 

Решить методом обратной матрицы системы уравнений, пред­варительно вычислив методом Гаусса обратную матрицу.

 

 

Найти фундаментальные системы решений однородных сис­тем.

 

 

Найти собственные векторы и собственные значения матриц.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.