Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов



 

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупнос­тью векторов одной размерности. Такие совокупности называ­ют системой векторов и обозначают одной буквой и порядко­вым номером:

 

Определение 1. Линейной комбинацией векторов (12.6) назы­вается вектор вида

 

 

где λ1, λ2, ..., λk любые действительные числа.

Например, пусть даны три вектора: 1 = (1, 2, 0), 2 = (2, 1, 1) и 3 = (-1, 1, -2). Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор = (4, 11, -5).

В случае равенства (12.7) говорят также, что вектор ли­нейно выражается через векторы (12.6) или разлагается по этим векторам.

Определение 2. Система ненулевых векторов (12.6) называ­ется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2, ..., λk, не равные одновременно нулю, что линейная комбина­ция данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

 

 

Если же равенство (12.8) для данной системы векторов (12.6) возможно лишь при λ1 = λ2 = ... = λk = 0, то эта система векторов называется линейно независимой.

Например, система двух векторов 1 = (1, 0) и 2 = (0, 2) является линейно независимой; система двух векторов 1 = (1, 2, 1) и 2 = (2, 4, 2) является линейно зависимой, так как 2 — 2 1 = .

Пусть система векторов (12.6) является линейно зависи­мой. Выберем в сумме (12.8) слагаемое, в котором коэффициент λs ≠ 0, и выразим его через остальные слагаемые:

 

 

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зави­симой системы (12.7) оказался выраженным через другие век­торы этой системы (или разлагается по остальным ее векто­рам).

Укажем свойства линейно зависимой системы векторов.

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, ли­нейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно за­висима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно за­висима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содер­жится по крайней мере один вектор, который линейно выра­жается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трех­мерных векторов в пространстве. В случае двух векторов, ког­да один вектор выражается через другой, мы имеем

 

 

т.е. эти векторы коллинеарны, или, что то же самое, находятся на параллельных прямых. В пространственном случае три ли­нейно зависимых вектора параллельны одной плоскости, т.е. компланарны (рис. 12.1); достаточно "подправить" соответ­ствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

 

 

Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. В пространстве Rn любая система, содержа­щая т векторов, линейно зависима при т > п.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.