Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Применение в экономике. Предельные показатели в микроэкономике



 

Предельные показатели в микроэкономике

 

Приведем примеры двух предельных показателей в микро­экономике.

1. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q: С = f(Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует себестои­мость ΔC прироста продукции ΔQ:

 

 

В предположении о непрерывной зависимости ΔС от ΔQ естес­твенно напрашивается замена разностного отношения в (5.13) его пределом:

 

 

Обычно в приложениях с использованием аппарата математи­ки под предельной себестоимостью понимают именно величину (5.13а).

Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой

 

 

Определим средние и предельные издержки при объеме про­дукции Q = 15 ден. ед.

А) Функция средних издержек на единицу продукции опре­деляется по формуле = C/Q, или в нашем случае

 

 

откуда (15) = 40 - 0,03 ∙ 225 = 33,25 ден. ед.

Б) Предельные издержки определяются, согласно (5.13а), по формуле

 

 

откуда при Q = 15 получаем С' (15) = 19,75 ден. ед.

Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек.

2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Пусть D = f(Р) — функция спроса от цены товара Р (см. п. 3.1). Тогда под эластичнос­тью спроса понимается процентное изменение спроса при из­менении цены товара на один процент:

 

 

Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимос­ти ΔD от ΔQ удобно перейти к пределу при ΔР 0:

 

 

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предло­жения S(P). Напомним, что функция D(P) убывает, а функция S(P) возрастает с ростом цены Р.

Укажем некоторые свойства эластичности. Как следует из формулы (5.14а), ее можно выразить так:

 

 

Из равенства (5.14 б) следует, что E(D) обладает свойствами логарифма, а значит,

 

 

Заметим, что поскольку функция D(P) убывающая, то D'(P) < 0, а тогда согласно формуле (5.14а) и E(D) < 0. Напротив, поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E(S) > 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины |E(D)|:

а) если |E(D)| > 1 (E(D) < -1), то спрос считается элас­тичным;

б) если |E(D)| = 1 (E(D) = -1), то спрос нейтрален;

в) если |E(D)| < 1 (E(D) > -1), то спрос неэластичный.

Рассмотрим два примера из этой области.

Пример 1. Пусть функция спроса описывается формулой

 

 

где D0 и k — известные величины. Найти, при каких значениях цены Р спрос будет эластичным.

Решение. Согласно формуле (5.14а) составляем выраже­ние для E(D):

 

 

Для того чтобы спрос был эластичным (случай а), необходимо, чтобы выполнялось неравенство

 

Пример 2. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение. Выручка I равна произведению цены Р на товар на величину спроса D:

 

 

Найдем производную этой функции:

 

 

Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше, с учетом формулы (5.14а).

1) E(D) < -1; тогда, подставляя (5.14а) в это неравенст­во, получаем, что правая часть уравнения (5.15) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ве­дет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку.

2) E(D) = -1. Из (5.14а) следует, что правая часть (5.15) равна нулю, т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

3) E(D) > -1. Тогда I'(P) > 0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены Р на товар приводит к росту выручки.

Понятие эластичности распространяется и на другие обла­сти экономики. Рассмотрим один характерный пример.

Пример 3. Пусть зависимость между себестоимостью продук­ции С и объемом Q ее производства выражается формулой

 

 

Требуется определить эластичность себестоимости при выпус­ке продукции Q = 30 ден. ед.

Решение. По формуле (5.14а) получаем

 

 

откуда при Q = 30 искомая эластичность составит около —0,32, т.е. при данном объеме выпуска продукции его увеличение на 1% приведет к снижению себестоимости примерно на 0,32%.

 

Максимизация прибыли

 

Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство то­вара. В реальности вид этих функций зависит в первую оче­редь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведенного товара дается формулой

 

 

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (5.14а), так что этот принцип можно записать в виде R'(Q) = C'(Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функ­ции (5.16) следует, что П'(Q) = 0, откуда и получается основ­ной принцип.

Пример 4. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

 

 

Решение. Согласно (5.16), прибыль П(Q) = - Q3 + 36Q2 - 69Q — 4000. Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение

 

 

Корни этого уравнения Q1 = 1, Q2 = 23. Проверка показы­вает, что максимальная прибыль достигается при Q = 23: Пmах = 1290.

 

Закон убывающей эффективности производства

 

Этот закон утверждает, что при увеличении одного из ос­новных факторов производства, например капитальных затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К яв­ляется убывающей функцией. Иными словами, объем произве­денной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Пример 5. Пусть эта функция дается уравнением

 

 

где b и с — известные положительные числа (они определя­ются прежде всего структурой организации производства), а Vlim — предельно возможный объем выпускаемой продукции. Нетрудно подсчитать, что вторая производная функции (5.17) имеет вид

 

 

Критическая точка находится из условия V"(K) = 0, откуда

 

 

График функции (5.17) приведен на рис. 5.10. В точке пе­региба (5.18) выпуклость графика функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных за­трат приводит к интенсивному росту объема продукции: темп прироста объема продукции (аналог первой производной) воз­растает, т.е. V"(K) > 0. При К > Кcr темп прироста объема выпускаемой продукции снижается, т.е. V"(K) < 0, и эффек­тивность увеличения капитальных затрат падает.

 

 

Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывает­ся очень важным моментом определение критического объема затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приво­дить все к меньшей отдаче при данной структуре организа­ции производства. Зная этот прогноз, можно пытаться совер­шенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и Vlim в сторону повышения эф­фективности капиталовложений.

 

УПРАЖНЕНИЯ

 

Найти пределы с использованием правила Лопиталя.

5.1. .5.2. .

5.3. .5.4. .

5.5. .5.6. .5.7. .

5.8. .5.9. .

5.10. .5.11. .

5.12. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = tg x до члена с x3 включительно.

5.13. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = e-x до члена с x2 включительно.

 

Найти пределы с использованием разложений по формуле Мак­лорена.

5.14. . 5.15. .

5.16. .5.17. .

 

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций.

5.18. .5.19.

5.20. .

 

Найти асимптоты графиков функций.

5.21. . 5.22. .

5.23. .

 

Исследовать и построить графики функций.

5.24. .5.25. .

5.26. . 5.27. .

5.28. .5.29. .

5.30. . 5.31.

5.32. .5.33. .

 

Решите задачи на наибольшее и наименьшее значения.

5.34. Разложить число 12 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

5.35. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V, при которых на облицовку дна и стен пойдет наименьшее количество материала.

5.36. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Ох найти точку, сумма расстояний от которой до точек А и В наименьшая.

 

Решите задачи с экономическим содержанием.

5.37. Зависимость между издержками производства С и объ­емом продукции Q выражается функцией С = 30Q — 0,08Q3. Определить средние и предельные издержки при объеме про­дукции: а) Q = 5 ед., б) Q = 10 ед.

5.38. Функции долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют соответственно вид

 

 

1) Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2) Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25%?

5.39. Функции спроса D и предложения S от цены р выража­ются соответственно уравнениями

 

 

Найти эластичность спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10%.

5.40. Зависимость объема выпуска продукции V от капиталь­ных затрат К определяется функцией V = V0 ln (4 + K3). Найти интервал изменения К, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.