Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Понятие дифференциала функции



Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке:

 

Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (4.3) принимает вид

 

 

Из равенства (4.4) производную f'(x) в любой точке х мож­но вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx:

 

 

Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 4.3). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x0, точка N — зна­чению аргумента x0 + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее при­ращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получа­ем, что АВ = Δx tg φ = f'(x0) Δx = dy, т.е. это главная по по­рядку величины Δx и линейная относительно нее часть прира­щения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

 

 

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

 

Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функ­ции в точке на ее дифференциал:

 

 

Абсолютная погрешность от такой замены является, как сле­дует из рис. 4.3, при Δx 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (4.4) и выражение для Δу, получаем

 

 

Формула (4.6) является основной в приближенных вычисле­ниях.

Пример. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x0,5 в окрестности точки x0 = 1. Поскольку, как будет показано далее, производ­ная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = ,то,принимая Δx = 0,07, получаем из формулы (4.6)

 

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

 

Приведем без доказательства одну из основных теорем диф­ференциального исчисления.

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы:

 

Таблица производных простейших элементарных функций

 

Производные всех простейших элементарно функций мо­жно свести в следующую таблицу.

1. (С)' = 0, где С — постоянное число.

2. (xα)' = αxα-1; в частности, = - , ( )' = .

3. (logax)' = logae; в частности, (ln x)' = .

4. (аx)' = ax ln а; в частности, (еx)' = еx.

5.(sin x)' = cos x.

6. (cos x)’= -sin x.

7.(tg x)' = .

8. (ctg x)' = - .

 

9. (arcsin х)' = .

10. (arccos x)' = - .

11. (arctg x)' = .

12. (arcctg x)' = - .

 

Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами диф­ференцирования (теорема 4.2) являются основными формула­ми дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция диф­ференцирования не выводит из класса элементарных функций.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.