Определение 1.Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке:
Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (4.3) принимает вид
Из равенства (4.4) производную f'(x) в любой точке х можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx:
Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 4.3). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x0, точка N — значению аргумента x0 + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее приращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получаем, что АВ = Δx tg φ = f'(x0) Δx = dy, т.е. это главная по порядку величины Δx и линейная относительно нее часть приращения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал:
Абсолютная погрешность от такой замены является, как следует из рис. 4.3, при Δx 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (4.4) и выражение для Δу, получаем
Формула (4.6) является основной в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенное значение корня .
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x0,5 в окрестности точки x0 = 1. Поскольку, как будет показано далее, производная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = ,то,принимая Δx = 0,07, получаем из формулы (4.6)
Правила дифференцирования суммы, произведения и частного
Приведем без доказательства одну из основных теорем дифференциального исчисления.
ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:
Таблица производных простейших элементарных функций
Производные всех простейших элементарно функций можно свести в следующую таблицу.
1. (С)' = 0, где С — постоянное число.
2. (xα)' = αxα-1; в частности, = - , ( )' = .
3. (logax)' = logae; в частности, (ln x)' = .
4. (аx)' = axln а; в частности, (еx)' = еx.
5.(sin x)' = cos x.
6. (cos x)’= -sin x.
7.(tg x)' = .
8. (ctg x)' = - .
9. (arcsin х)' = .
10. (arccos x)' = - .
11. (arctg x)' = .
12. (arcctg x)' = - .
Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами дифференцирования (теорема 4.2) являются основными формулами дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.