Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Исследование функций и построение графиков



 

Признак монотонности функции

 

Одной из существенных характеристик функции являет­ся ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, дока­зательство которой мы опускаем.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрас­тает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой моно­тонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касатель­ных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

 

 

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка x0 называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x0 в не­которой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(х) (f(x0) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0.

Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0 точка возможного экстремума, т.е. f'(x0) = 0, то она может ине быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x3 (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.

 

 

ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x0.

Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.

Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х3 — 7,5x2 + 18x.

Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x2 — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х25х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x1 =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x2 = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х (- ,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интер­вале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, + ) функция монотонно воз­растает (f'(x) > 0).

 

 

Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при кото­рых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта зада­ча имеет производственный смысл: найти оптимальные разме­ры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны.

Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr2h, выразим h:

 

 

Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой

 

 

Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:

 

 

Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, от­куда получаем уравнение 2rV / π r2 = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки:

 

 

Например, при V = 0,33 л оптимальные размеры банки соста­вят: диаметр дна ≈ 7,5 см и высота ≈ 7,5 см.

Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой каса­тельной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).

 

 

Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказатель­ства.

 

ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 3. Точка М(x0, f(x0)) называется точкой пере­гиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пре­делах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на дру­гую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).

 

ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и функция f(x) имеет в точке x0 непре­рывную вторую производную. Тогда

 

Отметим, что не всегда условие f"(x0) = 0 означает нали­чие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x2n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием пере­гиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необхо­димо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.

 

 

ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки пе­региба). Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x0)).

 

Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в не­которой окрестности точки x0 за исключением самой точки x0 и существует касательная к графику функции в точке М. На­пример, функция f(x) = x1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале коорди­нат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9x5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рас­смотрим примеры: найти точки перегиба и направления вы­пуклости графиков следующих функций.

 

Пример 3. f(x) = ехр (-x2).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2x exp(—x2), f"(x) = 2 exp (-x2)(2x2 1). Приравнивая вторую производ­ную к нулю, получаем критические точки х = ±1/ . Вви­ду зависимости функции от х2 достаточно исследовать точку x = l/ . Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следова­тельно, на левой ветви функции точка M1(-1 / , e-1/2) явля­ется точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М2(1/ , е-1/2) графика функции име­ет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

 

Пример 4. f(x) = ln (х2 – 2x + 2).

РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x1 = 0, x2 = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х(2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M1 (0, ln 2) графи­ка функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М2 (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.

 

Асимптоты графика функции

 

Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые назы­ваются асимптотами. Неограниченность приближения графи­ка функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизон­тальные и наклонные.

Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно + или - .

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам раз­рыва второго рода. Например, график функции у = е1/x име­ет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x) при х 0+.

Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х ± , если f(x) можно представить в виде

 

 

где α(х) 0 при х ± .

Это определение относится как к наклонной, так и к гори­зонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю.

Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравне­нии наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим

 

 

т.е. k = . Затемиз равенства (5.9) находим:

 

 

Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функ­ций.

 

Пример 5. f(x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

 

 

Затем находим наклонные асимптоты:

 

 

 

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

 

Пример 6. f(x) = х + e-x.

Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:

 

 

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

 

 

Схема исследования графика функции

 

Приведем схему исследования поведения функции и постро­ения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чет­ность или нечетность функции. Функция f(x) называется чет­ной, если выполнено условие симметрии ее графика относи­тельно оси Оу:

 

 

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

 

 

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем ото­бразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).

 

 

3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­динат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, опреде­лить участки монотонности функции, направление выпуклос­ти графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного ис­следования.

Пример 7. Исследовать и построить график функции

 

 

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (- , 0) (0, ).

2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересече­ния с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как пре­дел f(x) при х 0 бесконечен: f(x) + при х 0-, f(x) - при х 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

 

 

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.

6. f"(x) = —23 критических точек нет.

7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положитель­на. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не су­ществует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.