Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Локальный экстремум функции нескольких переменных



 

Определение и необходимые условия существования локального экстремума

 

Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локаль­ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M)f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М0) удовлетворяет одному из условий в окрест­ности точки M0:

Δz ≤ 0, если M0 точка локального максимума;

Δz ≥ 0, если M0 точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования ло­кального экстремума.

ТЕОРЕМА 2. Если функция z = f(x, у) имеет в точке M0 (x0, y0) локальный экстремум и частные производные пер­вого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

 

 

Для случая функции двух и более переменных необходи­мое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M0.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = х2 — у2 частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением ги­перболического параболоида) не имеет экстремума: f(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или стационарными точ­ками.

Рассмотрим задачи на отыскание возможного экстремума функций.

 

Ррешение. Согласно условиям (8.10) имеем = 0 и = 0, откуда получаем систему двух алгебраических урав­нений с двумя неизвестными

 

 

Решение этой системы х = 1, у = 2, т.е. точка с координа­тами (1, 2) является стационарной для данной функции двух переменных.

 

 

Решение. По условию (8.10) все три первые частные про­изводные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя не­известными

 

 

Решение этой системы дает единственную стационарную точ­ку возможного экстремума: (3, -4, 2).

 

Достаточные условия существования локального экстремума

 

Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , в некоторой точке M0 через а11, a12, a22 соответственно. Тогда достаточное усло­вие локального экстремума формулируется следующим обра­зом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М00, у0) возможного экстре­мума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

 

то функция и = f(x, y) имеет в точке М0 локальный экстре­мум: минимум при а11 < 0 и максимум при а11 > 0. Если же а11а22 — a122 ≤ 0, то данная функция не имеет локального эк­стремума в точке M0.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = х3 — у33ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий = = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

 

 

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

 

 

откуда получаем Δ = а11a22 — а122 = -36 — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т.е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а11 < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней: umax = f(-1, 1) = 1.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.