Будем говорить, что отношение двух функций при x a есть неопределенность вида , если
Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.
ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции f(x) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула
* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(х) удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(х).
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х (х ± ).
Теперь рассмотрим примеры.
Пример 1.
Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .
Пример 2.
Пример 3.
Неопределенности вида
Будем называть отношение двух функций при ха неопределенностью вида , если , - или + . В этом случае правило Лопиталя остается справедливым при замене условия на условие .
Пример 4.
Пример 5.
Другие виды неопределенностей
Неопределенности вида 0 ∙ и — можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.
Пример 6. Найти предел x ln x.
Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х = и теперь уже имеем неопределенность вида при х 0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем
Пример 7. Найти (cosec x — ctg x).
Решение. Это неопределенность вида — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем
Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Лопиталя дает нам
Рассмотрим неопределенности вида 00, 1, 0, возникающие при вычислении пределов функций у = и(х)v(x). Неопределенности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преобразования
Пример 8. Найти предел .
Решение. Это предел вида 00; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера
Пример 9. Найти предел
Решение. Это предел вида 1. Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:
Следовательно, искомый предел равен
Формула Маклорена
Разложение функций по формуле Маклорена
Одним из основных принципов математики является представление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степени. Многочлены же являются наиболее простыми элементарными функциями, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.
Итак, функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:
Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f(x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f(x) в виде многочлена, коэффициенты которого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену о(xn).
Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.
Пример 1.f(x) = еx.
Решение. Поскольку (ex)(n) = eх, f(n)(0) = е0 = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид
Формула (5.3) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем приближенное значение числа е ≈ 2,7182818 ....
Пример 2.f(x) = sin x.
Решение. Нетрудно проверить, что f(n)(x) = sin ; отсюда имеем
Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению
Пример 3.f(x) = cos x.
Решение. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем
Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:
Пример 4.f(x) = ln (l + х).
Решение. Так как , то f(0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 +x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):
Пример 5.f(x) = (1 + x)α, где α — вещественное число.
Решение. Производная n-го порядка имеет вид f(n)(x) = α(α - 1)( α - 2)... (α - n +1)(1 + x) α-n, т.е. f(n)(0) = α(α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:
В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f(n + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Ньютона:
т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.
Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций
Формулы (5.3)-(5.7) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций eх, sin x, cos x, ln (l + x), (1 + x) α при x 0. Аналогичные разложения можно получить с использованием формулы (5.2) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций. Покажем это на примере.
Пример 6. Найти .
Решение. Применяя формулу (5.2) при п = 2, получаем