Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ



 

L. Раскрытие неопределенностей

 

Правило Лопиталя

 

Будем говорить, что отношение двух функций при x a есть неопределенность вида , если

 

 

Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции f(x) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестнос­ти точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).

 

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(х) удовлетворяют тем же требо­ваниям, что и исходные функции f(x) и g(х).

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х ± ).

Теперь рассмотрим примеры.

Пример 1.

 

Здесь мы дважды последовательно применили правило Ло­питаля, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .

Пример 2.

Пример 3.

Неопределенности вида

Будем называть отношение двух функций при х а неопределенностью вида , если , - или + . В этом случае правило Лопиталя остается справед­ливым при замене условия на условие .

Пример 4.

Пример 5.

 

Другие виды неопределенностей

 

Неопределенности вида 0 ∙ и можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.

Пример 6. Найти предел x ln x.

Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х = и теперь уже имеем неопределенность вида при х 0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем

 

Пример 7. Найти (cosec x — ctg x).

Решение. Это неопределенность вида . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем

 

 

Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Ло­питаля дает нам

 

 

Рассмотрим неопределенности вида 00, 1 , 0, возникаю­щие при вычислении пределов функций у = и(х)v(x). Неопреде­ленности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преоб­разования

 

Пример 8. Найти предел .

Решение. Это предел вида 00; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера

 

Пример 9. Найти предел

 

Решение. Это предел вида 1 . Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:

 

 

Следовательно, искомый предел равен

 

Формула Маклорена

Разложение функций по формуле Маклорена

 

Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функ­ции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степе­ни. Многочлены же являются наиболее простыми элементар­ными функциями, над которыми удобно выполнять арифмети­ческие действия, вычислять значения в любой точке и т.д.

* Колин Маклорен — шотландский математик (1698 — 1746).

 

Итак, функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

 

 

Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f(x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f(x) в виде многочлена, коэффициенты ко­торого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений раз­личных функций; при этом погрешность вычислений оценива­ется по остаточному члену о(xn).

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.

Пример 1. f(x) = еx.

Решение. Поскольку (ex)(n) = eх, f(n)(0) = е0 = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид

 

 

Формула (5.3) используется для вычисления числа е с лю­бой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем при­ближенное значение числа е ≈ 2,7182818 ....

Пример 2. f(x) = sin x.

Решение. Нетрудно проверить, что f(n)(x) = sin ; отсюда имеем

 

 

Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению

 

Пример 3. f(x) = cos x.

Решение. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем

 

 

Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:

 

Пример 4. f(x) = ln (l + х).

Решение. Так как , то f(0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 +x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

 

Пример 5. f(x) = (1 + x)α, где α вещественное число.

Решение. Производная n-го порядка имеет вид f(n)(x) = α(α - 1)( α - 2)... (α - n +1)(1 + x) α-n, т.е. f(n)(0) = α(α 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:

 

 

В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f(n + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Нью­тона:

 

 

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Мак­лорена.

 

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

 

Формулы (5.3)-(5.7) представляют собой асимптотичес­кие формулы (или оценки) соответственно для функций eх, sin x, cos x, ln (l + x), (1 + x) α при x 0. Аналогичные раз­ложения можно получить с использованием формулы (5.2) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций. Покажем это на примере.

 

Пример 6. Найти .

Решение. Применяя формулу (5.2) при п = 2, получаем

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.