Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ



8.1. Евклидово пространство Em

Евклидова плоскость и евклидово пространство

 

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещест­венных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евкли­довой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точ­ками M1(x1, y1) и М2(x2, y2) определено по формуле

 

 

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства ха­рактеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между дву­мя любыми точками пространства M(x1, y1 ,z1) и М(x2, y2, z2) определяется формулой

 

 

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространст­во определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

 

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных со­вокупностей т действительных чисел (x1, х2, x3, ..., xm) назы­вается т-мерным координатным пространством Аm.

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2, x3,, … ,xт,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x1, x2, x3, …, xm называются коорди­натами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x1, x2, ..., xm).

Определение 3. Координатное пространство Аm называется т-мерным евклидовым пространством Еm, если между двумя любыми точками М'(х1', х2, '... , хm') и М"(x1'', х2'',... , хm'') про­странства Аm определено расстояние ρ(М', М") по формуле

 

 

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координат­ного пространства Аm и m-мерного евклидова пространства Em являются обобщениями понятий соответственно коорди­натных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

 

8.2. Множества точек евклидова пространства Еm

 

Примеры множеств евклидова пространства Еm

 

Будем обозначать символом {М} некоторое множество то­чек m-мерного пространства Еm. Рассмотрим некоторые при­меры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x1, x2, ..., xm которых удовлетворяют неравенству

 

 

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M0(x ,x ,...,x ).

Этот пример является m-мерным обобщением соответ­ственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими не­равенствами:

 

 

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

 

 

В случае строгого неравенства ρ(М, М0) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это мно­жество также называют R-окрестностью точки M0. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называет­ся замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каж­дой из них до некоторой точки M0 удовлетворяет равенству ρ(М, М0) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с цент­ром в точке M0.

Аналогия: для плоскости — окружность (xx0)2 + (у – y0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М00, у0), для пространства — сфера (xx0)2 + (уy0)2 + (zz0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М00, у0, z0).

 

Понятие функции нескольких переменных

 

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М} евклидова пространства Em по какому-либо закону ста­вится в соответствие некоторое число и из числового множес­тва U. Тогда будем говорить, что на множестве {М} задана функция и = f(M). При этом множества {М} и U называют­ся соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f(x) изобра­жается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {Мп} функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Аналогичным образом функция от т пере­менных

 

 

определенная на множестве {М} евклидова пространства Еm, представляет собой гиперповерхность в евклидовом простран­стве Еm+1.

 

 

Некоторые виды функций нескольких переменных

 

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

 

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Областью определения этой функции является все множест­во точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, ). Данная функция представляет собой пара­болоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Оуz получаются соответственно параболы z = х2 и z = у2.

 

 

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства Е2 или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат O(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

 

 

 

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различ­ных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Уравнение вида

 

 

называется общим уравнением плоскости в системе коорди­нат Oxyz. Вектор = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.4); он называется нормальным вектором этой плоскости. Ес­ли известно, что плоскость проходит через некоторую точку M0(x0, y0, z0), то она может быть задана уравнением

 

 

Например, составить уравнение плоскости с перпендику­лярным вектором = (1, 2, -1), проходящей через точку М0 (2, 1, 1), Согласно формуле (8.5) имеем

 

 

2. Функция Кобба—Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах ка­питала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

 

 

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < α < 1 — доля капитала в доходе.

 

Линии уровня

 

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при описании различных физических полей (темпера­тура, давление и пр.).

Определение 2. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется плоская кривая, получаемая при пе­ресечении графика этой функции плоскостью z = С, где С — постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.

Обычно линии уровня, соответствующие различным зна­чениям постоянной величины С, проецируются на одну плос­кость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией z = f(x, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z = f(x, у) — это семейство кривых на координатной плоскос­ти Оху, описываемое уравнениями вида

 

 

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел Ci с по­стоянной разностью h; тогда по взаимному расположению ли­ний уровня можно получить представление о форме поверхнос­ти, описываемой функцией z = f(x, у). Там, где функция изме­няется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверх­ность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

 

Пример 3. Найти линии уровня функции z = х2 + у22х — 2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

 

 

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с цент­ром в точке O1(l, 1) радиуса r = . Поверхность враще­ния (параболоид), описываемая данной функцией, становится "круче" по мере ее удаления от оси, которая дается уравнени­ями x = 1, у = 1.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.