Основные свойства неопределенного интеграла

Прежде всего укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

Следующие два свойства называются линейными свойст­вами неопределенного интеграла.

Заметим, что последнее свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

Таблица основных неопределенных интегралов

Ранее мы получили таблицу основных производных эле­ментарных функций. Приводимая ниже таблица основных не­определенных интегралов представляет собой вычислитель­ный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таб­лицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Как было установлено в п. 4.4, операция дифференцирова­ния не выводит нас из класса элементарных функций. С опе­рацией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от не­которых элементарных функций уже не являются элементар­ными функциями. Укажем некоторые из них.

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не яв­ляется элементарной, хотя подынтегральные функции в этих интегралах являются элементарными. Они играют большую роль в прикладных науках; так, интеграл 1 является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Как правило, интегралы, с которыми приходится иметь де­ло в различных приложениях, не выражаются элементарными функциями (или, как принято говорить, являются "неберущи­мися"). Тем не менее существуют достаточно хорошо разрабо­танный аппарат приближенных формул с использованием эле­ментарных функций и методы приближенных расчетов, поз­воляющие с любой степенью точности оценивать и вычислять "неберущиеся" интегралы.

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из са­мых эффективных приемов сведения неопределенного интегра­ла к табличному. Такой прием называется методом подста­новки, или методом замены переменной. Он основан на следу­ющей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и диффе­ренцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

Выражение (6.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема на примерах вычисления интегралов.

Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представ­ляется весьма сложным. Введем новую переменную t = х — 1. Тогда х = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Сделав обратную замену переменной, получаем окончатель­ный ответ:

Решение. Положим t = 2 - х, тогда х = 2 - t, dx = -dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем

Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде

Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую переменную t = sin x. Тогда 1 — sin² х = 1 — t², dt = cos x dx; подстановка в интеграл дает

Здесь использован табличный интеграл 10.

Решение. Введем новую переменную t = x⁴ и выполним все необходимые операции: x⁸ + 1 = t² + 1, dt = 4x^зdx, откуда имеем

Решение. Положим t = х² + 1, тогда dt = 2х dx или xdx = , и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:

Поиск по сайту: