С. Непрерывность вещественных чисел

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами вещественных чисел.

Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональ­ной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и Y установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу х Х соответствует элемент у Y. Соответствие называется взаимно однозначным, если любому х Х соответствует только один элемент из Y и, наоборот, любому у Y соответствует только один элемент .

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено вза­имно однозначное соответствие. Это дает возможность нагляд­но геометрически изобразить вещественные числа на числовой оси. На прямой выберем точку О начала отсчета, укажем на­правление отсчета (обычно слева направо, рис. 1.2) и единицу измерения или масштаб.

Рис. 1.2

Эти три действия полностью определяют нам числовую (ко­ординатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на этой оси. По­ставим ей в соответствие число x, равное по величине длине отрезка ОМ, со знаком +, если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком —, если М расположена слева от точки О. Тогда число х называется координатой точки х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественно­му числу х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна х.

Пусть а и b — два числа, причем а < b. Укажемнекоторыенаиболее употребительные числовые множества:

1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b];.

2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравен­ству а < х < b, называется интервалом и обозначается (а,b);

3) множество всех вещественных (действительных) чисел бу­дем обозначать

4) аналогично пп. 1-3 можно определить числовые множества типа (a,b], [а, b), (а, + ), (- ,b), [а, + ) и (- , b].

Все эти множества называются промежутками; промежут­ки типа 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа а и b — их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [а, b] изображается отрезком М₁М₂, таким, что точка M₁ имеет координату а, точка M₂ — координату b. Вся координатная прямая является изображени­ем множества всех вещественных чисел, и потому множество (- , ) называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.

Поиск по сайту: