Вариационный принцип Кастильяно

Рассмотрим упругое тело, на поверхности которого S1 заданы внешние нагрузки: , а на поверхности S2 заданы перемещения: (рис. 5.2, а).

Напряжённое состояние тела характеризуется функциями напряжений , которые удовлетворяют всем уравнениям равновесия. Такие напряжения называют статически возможными. Поскольку в три уравнения равновесия (2.10) входят шесть неизвестных функций , то число вариантов решения уравнений (2.10) при соблюдении условий на поверхности бесконечно велико. Из всех статически возможных функций необходимо отобрать такие, при которых выполняются условия совместности деформаций.

Рассмотрим второе состояние тела (рис. 5.2, б), в котором функции напряжений получили статически возможные вариации (приращения) .При этом на поверхности S1 не возникают дополнительные нагрузки, т.е. система напряжений является самоуравновешенной. На поверхности S2 возникают реактивные усилия в виде поверхностных нагрузок .

Согласно принципу возможных перемещений Лагранжа работа сил второго состояния навозможных перемещениях первого состояния равна нулю:

(5.8)

Выражение под знаком тройного интеграла есть вариация удельной дополнительной энергии деформации .

Двойной интеграл в (5.8) равен с противоположным знаком потенциалу сил на поверхности S2.

Обозначим

(5.9)

Тогда выражение (5.8) можно записать в виде

(5.10)

Величина , равная сумме дополнительной энергии деформации и потенциалу реактивных сил на поверхности S2, где задаются перемещения, называется дополнительной энергией деформируемого тела или функционалом Кастильяно.

Формула (5.10) отражает принцип Кастильяно: при истинных напряжениях дополнительная энергия деформируемого тела получает стационарное значение.

Для линейно-упругого тела при отсутствии принудительно задаваемых перемещений ( , получаем и принцип Кастильяно приобретает вид

(5.11)

Истинные напряжения (внутренние усилия) придают потенциальной энергии деформации стационарное значение.

Метод Ритца

Будем решать задачу теории упругости в перемещениях. Представим функции перемещений в виде конечных сумм, состоящих из n слагаемых следующего вида:

(5.12)

Здесь , , – задаваемые базисные функции, которые удовлетворяют кинематическим граничным условиям задачи (условиям закрепления тела), – неизвестныемножители, называемые обобщёнными перемещениями.

Подставим вектор перемещений
в функционал (5.5), вычислим интегралы от базисных функций и их производных. Результат можно представить в следующей форме:

(5.13)

Теперь задача об экстремуме функционала (5.5) заменяется задачей о нахождении экстремума функции нескольких переменных, которыми являются обобщённые перемещения Условием достижения экстремума функции многих переменных является равенство нулю первых производных по всем неизвестным аргументам.

Поэтому получаем систему уравнений

(5.14)

Для тела из линейно-упругого материала равенства (5.14) образуют систему линейных алгебраических уравнений

(5.15)

Имеет место равенство .

Матричная форма системы уравнений (5.15):

(5.16)

где матрицажёсткости, соответствующая обобщённым перемещениям , – вектор обобщённых внешних сил.

Произведение можетрассматриваться как вектор обобщённых упругих сил, которые вместе с обобщёнными внешними силами обеспечивают равновесие тела для каждого обобщённого перемещения

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое функционал?

2. В чём заключается свойство стационарности функционала?

3. Что называется экстремалью функционала?

4. Как записывается условие стационарности функционала?

5. По какой формуле вычисляется функционал полной энергии деформированного тела?

6. В чём заключается вариационный принцип Лагранжа?

7. В чем заключается принцип Кастильяно?

8. Как выражается функционал полной энергии деформированного тела в методе Ритца?

6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего определенным условиям на границах (краях) интервала, называется краевой задачей.

В теории упругостирассматривают два типа краевых задач. Первый тип, называемый задачей Коши, возникает, если решаемое дифференциальное уравнение удовлетворяет некоторым условиям в начале координат. Второй, более сложный тип краевых задач, относится к дифференциальному уравнению, которое должно удовлетворять усло­виям по концам интервала или на определенных границах области.

Метод конечных разностей является одним из численных методов решения краевых задач. Рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение содержит функцию и ее производные, а граничные условия заданы на обоих концах интервала . Весь интервал [0,L], на котором исследуется решение краевой задачи, разделяем на nучастков одинаковой длины Dx. Значение функции в узле i (на границе двух участков Dx) обозначаем (рис.6.1).

Метод конечных разностей основан на приближенном представлении производных функции в i-м узле через значения функции в узлах:

; (6.1)

. (6.2)

Если кривая , проведенная через точкиa, b и сна рис. 6.1, представляет собой параболу, то выражения (6.1) и (6.2) будут точными, а в иных случаях – приближенными.

На основе формул (6.1) и (6.2) могут быть получены выражения для производных более высоких порядков:

; (6.3)

. (6.4)

Подставляя приближенные формулы для производных, выраженные через значение функции в узлах, в решаемое дифференциальное уравнение, получаемконечно – разностный операторэтого уравнения.

Такой оператор составляется для каждого узла. При этом потребуютсядополнительные узлы, расположенные за границами интервала [0,L]. Значения искомой функции y(x)в этих узлах определяются из граничных условий, которые записываются также с помощью конечно-разностныхоператоров.

В результате получается система алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются узловые ординаты искомой функции y(x). Порядок этой системы уравнения равен числу внутренних узлов, намеченных на интервале [0,L].

Рассмотрим применение метода конечных разностей к расчету балок, решая дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

. (6.5)

Разделим ось балки на одинаковые участки Dx и укажем слеваисправа от концов балки по одному дополнительному узлу с номерами-1 и n+2 соответственно (рис. 6.2).

Число внутренних узлов между опорами балки – n. Обозначим для
i-го узла: прогиб , интенсивность внешней нагрузки , изгибную жесткость .

Уравнение (6.5) для i-го узла с учетом формулы (6.4) получает вид:

( 6.6)

и является конечно-разностным оператором дифференциального уравнения (6.5).

Для определения значений прогибов в дополнительных узлах используем граничные условия, зависящие от способов закрепления концов балки.

Для жесткой заделки угол поворотаравен нулю, поэтому с учётомформулы (6.1) получаем

,

откуда следует, что .

Для шарнирной опоры прогиб и изгибающий момент равны нулю, поэтому с учётомформулы (6.2) получаем

,

откуда следует, что .

Составляя уравнения (6.6) для всех внутренних узлов, получаем систему алгебраических уравнения относительно прогибов балки. Решая эту систему уравнений, определяем прогибы балки в узлах.

Изгибающие моменты в узлах вычисляем по формуле

(6.7)

Для расчёта пластинок и оболочек их поверхность покрывают сеткой линий, точки пересечения которых называют узлами. Значения определяемых функций в узлах принимают в качестве неизвестных. Составляют приближённые формулы для нахождения частных производных функций двух переменных через значения этих функций в узлах сетки, аналогичные выражениям (6.1), (6.2). Подставив эти формулы в дифференциальные уравнения, получают конечно-разностные операторы. После записи этих конечно-разностных операторов для всех внутренних узлов сетки получается система алгебраических уравнений. Условия на границе сеточной области (краевые условия) также выражают с помощью конечно-разностных операторов. Компьютерные программы позволяют решать сис

Рис. 6.3. Сеточная область

Рассмотрим прямоугольную сетку линий (рис. 6.3) и составим для узла k конечно-разностный оператор бигармо­ни­ческого оператора Лапласа применительно к некоторой функции двух переменных

Для первого слагаемого используем формулу (6.4), заменяя в ней на ,для третьего слагаемого используеманалог этой формулы с заменой на , а на . Для второго слагаемого следует получить приближённое выражение для смешанной производной, дифференцируя по зависимость (6.2). После преобразований получается следующая формула:

(6.8)

где .

Для практического использования формулы (6.8) применяют графический шаблон (оператор), показанный на рис. 6.4 и 6.5. Шаблон накладывают на сеточную область таким образом, чтобыцентральный прямоугольник располагался над узлом k. Затем составляется сумма произведений значений функции в узлах на соответствующие коэффициенты шаблона.

Рис. 6.4. Шаблон бигармонического оператора

Рис. 6.5. Шаблон бигармонического

оператора при квадратной сетке

Метод конечных разностей эффективен для решения плоской задачи теории упругости. Рассмотрим балку-стенку в виде прямоугольной пластинки единичной толщины (рис. 6.6, а).

От заданной нагрузки будем вычислять напряжения с помощью функции напряжений. Для этого воспользуемся бигармоническим уравнением плоской задачи (4.15). Нанесём на балку-стенку прямоугольную сетку, добавив дополнительный ряд узлов за каждой гранью пластинки (рис. 6.6, б).

Будем накладывать шаблон бигармонического оператора на каждый внутренний узел сетки. Если узел расположен около границы пластинки, то шаблон будет захватывать узлы на контуре и узлы за контуром (рис. 6.6, б).

Необходимо выразить функцию напряжений в контурных и законтурных узлах через функцию напряжений во внутренних узлах. Для этого используют рамную аналогию. Доказательства ниже приводимых утверждений можно найти в [1, 4].

Представим контурную линию балки-стенки рамой, к которой приложена заданная нагрузка (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Контурная рама, эпюры изгибающих моментов и продольных сил

Статически неопределимую контурную раму любым способом сделаем статически определимой и построим от внешней нагрузки эпюры изгибающих моментов и продольных сил. Изгибающие моменты считаются положительными при растяжении внутренних волокон контурной рамы, продольные силы считаются положительными при растяжении стержня.

Функция напряжений в контурныхузлах, таких, как b, d(см. рис. 6.6, б) назначается равной изгибающему моменту в соответствующей точке контура рамы. Функция напряжений в законтурныхузлах, таких, как a, c(рис. 6.6, б) вычисляется через функцию напряжений во внутреннем предконтурном узле и продольную силу в соответствующем стержне рамы.

Например: .

После составления уравнений (6.8) с помощью шаблонов для всех внутренних узлов сетки получается система линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются значения функции напряжений в узлах. Решив систему уравнений, можно вычислить напряжения в узле k сетки (рис.6.3)по формулам:

(6.9)

Формулы (6.9) можно представить в виде шаблонов-операторов:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как вычисляются первая и вторая производные функции одной переменной в методе конечных разностей?

2. Как составляется конечно-разностный оператор дифференциального уравнения?

3. Чем заменяется дифференциальное уравнение в методе конечных разностей?

4. Какой вид имеет конечно-разностный оператор бигармонического оператора Лапласа применительно к некоторой функции двух переменных?

5. Какой вид имеет шаблон бигармонического оператора Лапласа при квадратной сетке?

Поиск по сайту: