Перемещения и деформации в точке тела

Рис. 1.11. Перемещения точкиК

Все перемещения являются непрерыв­ными функциями координат u = u(x,y,z); v=v(x,y,z);w = w(x,y,z).

Деформации тела в точке представляют
в виде трёх удлинений рёбер беско­­нечно малого параллелепипеда Δdx,Δdy, Δdz(рис. 1.12), которые называются осевыми (линейными), ив виде трёх искажений прямых углов между его гранями.

Рис. 1.12. Удлинение рёбер элемента

Положительными считают деформации при растяжении, отрицательными – при сжатии.

Изменение угла между гранями параллелепипеда называют углом сдвига, а соответствующую деформацию – сдвигом. Углы сдвига имеют следующие обозначения: (рис. 1.13). Индексы указывают координатную плоскость, в которой происходит сдвиг. Положительный сдвиг соответствует уменьшению прямого угла между гранями параллелепипеда, отрицательный – увеличению угла. Согласно обозначениям , , .

Рис. 1.13. Углы сдвига

Тензор деформаций

По аналогии с тензором напряжений введено понятие «тензор деформаций»:

.

Тензор деформаций полностью описывает деформированное состояние в точке тела.

В каждой точке тела можно найти три взаимно перпендикулярных направления, вдоль которых возникают только деформации растяжения или сжатия, а деформации сдвига отсутствуют. Такие осевые деформации называются главными деформациями ε₁, ε₂и ε₃.

Величины главных деформаций находят из решения кубического уравнения, аналогичному уравнению (1.2):

(1.3)

Инварианты тензора деформаций определяют по формулам:

;

;

.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед,грани которого параллельныглавным осям деформаций. Так как сдвиговые деформации отсутствуют, то объем деформированного элемента определяется произведением изменённых сторон деформированного элемента: , , . Пренебрегая произведениями относительных деформаций, вычислим:

– новый объём элемента:

;

– приращение объёма

;

– относительную объемную деформацию:

.

Таким образом, первый инвариант тензора деформаций определяет изменение объема в точке твердого деформированного тела.

Как и тензор напряжений, тензор деформаций можно представить в виде суммы шарового тензора деформаций и девиатора деформаций:

;

;

.

Средняя деформация, которая характеризует объемную деформацию в точке:

.

Девиатордеформаций определяет изменение формы. Первый инвариант(изменение объема) девиатора деформаций равен нулю.Второй инвариантдевиатора деформаций определяется по формуле

.

Осевая деформация в направлении, перпендикулярном октаэдрической площадке, выражается через первый инвариант тензора деформаций:

а угол сдвига на октаэдрической площадке – через второй инвариант:

.

В теории пластичности используют понятие «интенсивность деформаций сдвига» :

=

=

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. На каких допущениях основана теория упругости?

2. В чем заключается принцип Сен-Венана?

3. Что называется напряжением?

4. Что называется тензоромнапряжений?

5. Какой смысл имеют индексы в обозначении касательного напряжения?

6. Какие напряжения и площадки называются главными?

7. Как вычислить первый инвариант тензора напряжений?

8. На какие составляющие раскладываются тензор напряжений?

9. Как вычислить наибольшие касательные напряжения?

10. Какие напряжения называются октаэдрическими и как они вычисляются?

11. Что называется тензором деформаций?

12. Какие деформации называются главными и как они обозначаются?

13. На какие составляющие раскладывается тензор деформаций?

14. Какой смысл имеет первый инвариант тензора деформаций и как его вычислить?

Поиск по сайту: