Решение плоской задачи в напряжениях и перемещениях

Принимаем за основные неизвестные три напряженияs_х = s_х(х, y);
s_y = s_y(х, y); t_хy = t_xy(х, y). Преобразуем уравнения равновесия (4.1), предполагая, что объёмные силы постоянны X=const и Y=const.Продифференцировав первое уравнение по координате x, второе уравнение по координате yи просуммировав их,получим:

(4.9)

В уравнение совместности деформаций (4.4) подставим вместо деформаций их выражения через напряжения по (4.5)и вторуюпроизводную от касательных напряжений по (4.9). В результате получим

Поскольку есть гармонический оператор Лапласа,
то последнее равенство можно записать так:

(4.10)

Условие (4.10) выражает уравнение совместности деформаций, записанное через напряжения, и называется уравнением Леви.

Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях основывается на системе трёх уравнений

(4.11)

По-прежнему, условия на контуре пластинки (граничные условия) определяются формулами (4.2). Поскольку выражения (4.11) не включают упругие постоянные материалаЕ и μ, то полученные с их помощью решения пригодны для пластинок, выполненных из любого изотропного материала.

Примем теперь основными неизвестными перемещения
Выразим через эти перемещения деформации по формулам (4.3) и подставим их в соотношения закона Гука (4.6), а полученные выражения для напряжений подставим в уравнения равновесия (4.1).

В результате после преобразований получим следующие уравнения плоской задачи в перемещениях:

(4.12)

Граничные условия на контуре пластинки (4.2) следует записать, выразив напряжения через перемещения по формулам закона Гука:

Функция напряжений

Решение плоской задачи в напряжениях при постоянных объёмных силах заметно упрощается, если ввести специальную функцию через которую выражаются все три напряжения:

(4.13)

Эта функция называется функцией напряжений или функцией Эйри.

Подстановка формул напряжений (4.13) в первые два уравнения (4.11) превращает эти уравнения в тождества.

Подставив формулы (4.13) в третье уравнение системы (4.11), получим

(4.14)

Оператор (читается «набла четыре») называется бигармоническим оператором или двойным оператором Лапласа.

В развёрнутом виде формула (4.14) имеет вид

(4.15)

Уравнение (4.15) называется бигармоническим уравнением плоской задачи. Оно выражает условиесовместности деформаций, выраженное через функцию напряженийφ.

Следовательно, для решения плоской задачи в напряжениях необходимо отыскать только одну неизвестную функцию координат – функцию напряжений φ(x,y), удовлетворяющую условиям на контуре пластинки.

Сами напряжения затем определяют по формулам (4.13).

Поиск по сайту: