Метод Бубнова–Галёркинапозволяет получать приближённое аналитическое решение дифференциального уравнения.
Пусть некоторая двумерная задача в области А описывается при заданных граничных условияхдифференциальным уравнением
(8.1)
в котором – функциякоординат и , подлежащая определению. Буквой обозначен дифференциальный оператор уравнения. Уравнение (8.1) может содержать не только функцию , ни и её производные разных порядков.
Функцию представим в виде суммы
, (8.2)
где – базисные (координатные) функции, удовлетворяющие граничным условиям; aj – неизвестные множители, которые необходимо определить.
Две функцииF1(х,у) иF2(х,у), определённые в области А, называются ортогональными, если выполняется условие
, (8.3)
При выполнении условия (8.1) операторL(w) будет ортогонален любой функцииF(х,у):
.
После подстановки приближённого выражения (8.2) в уравнение (8.1) левая часть последнего будет равна не нулю, а некоторому значению, которое называется невязкой или функцией-ошибкой, поэтому
.
Чтобы минимизировать невязку, сделаем её ортогональной к каждой из базисных функций:
, (8.4)
После преобразований получается система алгебраических уравнений, из решения которой находят все коэффициентыaj.
Рассмотрим примеры использования метода Бубнова–Галёркина.
Рис.8.1. Балка
Пример 1. Консольная балка под действием равномерно распределённой нагрузки q (рис. 8.1). Применим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
Такие функции удовлетворяют граничным условиям – отсутствию прогибов на кромках пластинки. Целые числа m и n равны числу полуволн деформированной поверхности пластинки в направлении осей x и y соответственно (рис. 8.3).
y
y
x
x
m=n=1
m=2 n=1
Рис. 8.3. Поверхности, соответствующие базисным функциям (8.7)
Дифференциальный оператор (8.5) представим какL(w) = Lw +Lq, гдеLw – первое слагаемое в формуле, аLq= –q(x,y).
Подставим выражение (8.6) воператор (8.5) и составим условия ортогональностиL(w) к каждой базисной функцииjj:
.
После замены интеграла от суммы суммой интегралов приходим к системе линейных алгебраических уравнений:
(8.8)
где (8.9)
(8.10)
Учитывая, что
,
получим
Принятые базисные функции оказываются взаимно ортогональными. Интеграл
принимаеттолько два значения: равен нулю, еслиmj ¹ mi и nj ¹ niи равен величинеab/4 еслиmj = mi и nj = ni.
Поэтому все побочные коэффициенты в системе уравнений (8.8) обращаются в ноль и система уравнений распадается на независимые уравнения, решением которых является выражение
(8.11)
в котором . (8.12)
Рассмотрим квадратную в плане (b = a) стальную (m = 0,3) пластинку толщинойh, нагруженную равномерно распределённой по всей поверхности нагрузкой интенсивностьюq. Ограничимся одним слагаемым в формуле (8.6) приm = n = 1 (см. рис. 8.3левую схему).
.
Подставив выраженияD1 иDв формулу (8.11), после преобразований получим
.
Изогнутая поверхность пластинки описывается уравнением
.
в которомa1 – прогиб в центре пластинки.
Вычисленное значениеa1 на 2 % отличается от приводимого в справочниках.
Выражению
.
можно придать вариационную трактовку. Если функцию рассматривать как некоторое обобщённое перемещение, а оператор как описание нагрузки, которая соответствует обобщённому перемещению, то указанное выражение есть работа обобщённой нагрузки на обобщённом перемещении, равная нулю для системы, находящейся в равновесии.
Поэтому метод Бубнова–Галёркина можно рассматривать как выражение принципа возможных перемещений.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какие функции называются ортогональными?
2. В чем заключается метод Бубнова–Галёркина для решения дифференциального уравнения?