Взаимно простые числа в химии

В литературе по химии можно встретить такую формулировку закона Гей-Люссака: “Объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как простые целые числа”. Однако, например, при сгорании одного объёма бутана образуется четыре объёма оксида углерода : → 4 , но ни одно из чисел, входящих в отношение 1 : 4, не является простым: 1 и 4 – это взаимно простые натуральные числа (напомним, что 1 – это и не простое и не составное число). Поэтому для правильной формулировки этого закона слова “простые целые” следует заменить на “взаимно простые”.

В различных химических изданиях закон кратных отношений формулируется в виде: “Если два элемента образуют между собой несколько соединений, то весовые количества одного элемента, соединяющиеся с одним и тем же весовым количеством другого, относятся между собой как небольшие целые числа”. Но рассмотрим два углеводорода и , в которых натуральное число n может быть и большим, а тогда и члены отношений

будут большими. По этой причине и в формулировке закона кратных отношений слова “небольшие целые” лучше заменить на “взаимно простые” [42, с. 78].

Отметим также, что простейшую формулу химического соединения можно определить как такую, индексы при элементах которой являются взаимно простыми числами.

Многие закономерности химии могут быть четко сформулированы в виде теорем.

Критерии алканов

Теорема 1 (Критерий 1). Углеводород с простейшей формулой – алкан в том и только в том случае, если натуральное число есть корень уравнения

. (18.1)

Действительно, если выполнены условия теоремы, то простейшая формула углеводорода должна совпадать с простейшей формулой алкана и поэтому имеет место уравнение (18.1), корнем которого будет натуральное число . Эта теорема по существу является критерием алкана.

Например, если простейшая формула углеводорода , то на основании теоремы 1, из уравнения находим натуральное число . Значит, – молекулярная формула углеводорода. Если простейшая формула углеводорода – , то на основании той же теоремы из уравнения получаем ненатуральное число n = –3. Это значит, что углеводород – не алкан.

Если простейшая формула углеводорода – , то на основании теоремы 1 из уравнения имеем 2n + 2 = 2n или 2 = 0, т.е. указанное уравнение решения не имеет. Значит и натуральное число n не является корнем этого уравнения. По той же теореме заключаем, что рассматриваемый углеводород – не алкан

Теорема 2. Если углеводород – алкан, то массовая доля углерода в нем меньше массовой доли углерода в этилене.

Действительно, записав формулу алкана в виде , получим

,

где левая часть неравенства равна массовой доле углерода в алкане, а правая – в этилене ( и соответственно относительные атомные массы углерода и водорода).

Справедлива и

Теорема 3 (обратная к теореме 2).Если массовая доля углерода в углеводороде меньше массовой доли углерода (»85.7 %) в этилене, то углеводород – алкан.

Действительно, записав формулу углеводорода как и по условию теоремы 3 неравенство , из которого следует: . Но , так как число атомов водорода в молекуле любого углеводорода – четное, тогда как число при каждом натуральном – нечетное и не может быть , поскольку максимальное число атомов водорода, которые могут соединиться с атомами углерода, равно в предельном нециклическом углеводороде. Следовательно, , и – формула алкана. Теперь обе теоремы (прямую и обратную) объединим в одну. Итак,

Теорема 4 (Критерий 2).Углеводород – алкан, тогда и только тогда, когда массовая доля углерода в углеводороде меньше массовой доли (»85,7 %) углерода в этилене.

Задача 1. Какова простейшая и молекулярная формула газообразного углеводорода, если массовая доля углерода равна 81,82 % и водорода – 18,18 %, а 10^{-3 м3} этого углеводорода (н.у.) имеют массу 2,6·10^{-3 кг? [34, с. 49].}

Эта задача была решена методом вычислительного эксперимента в пункте 14.2. Здесь приведём ещё решение, основанное на теореме 3.

Учитывая, что массовая доля углерода в этилене составляет 85,7 % и 81,82 % < 85,7 %, на основании теоремы 4 заключаем, что углеводород, о котором идёт речь в задаче – алкан. Поэтому его формула имеет вид _. Теперь для определения составим уравнение , из которого получаем , и так как – число натуральное, = 3. Следовательно, – молекулярная формула углеводорода, которая совпадает с его простейшей формулой.

Теоремы гомологии

Теорема 5. Если известно, какому гомологическому ряду принадлежит углеводород, то молекулярная формула такого углеводорода однозначно определяется его относительной молекулярной массой [43 с. 72].

Действительно, если выполняются условия этой теоремы, то индексы при углероде и водороде зависят только от одного неизвестного , равного количеству атомов углерода в молекуле углеводорода, а потому, выразив относительную молекулярную массу через и приравняв её заданной относительной молекулярной массе, получим линейное уравнение однозначно определяющее .

Задача 2.Выведите формулу диенового углеводорода, если при сгорании его объемом 4 л образовался оксид углерода объемом 12 л и пары воды объемом 8 л. Плотность паров по водороду 20 [15, с. 60].

В соответствии с теоремой 5 исключим из условия этой задачи всю информацию, кроме плотности диенового углеводорода по водороду. Тогда, записав общую формулу такого углеводорода как , получим для определения неизвестного уравнение: , из которого . Значит, формула диенового углеводорода – или .

Теорема 6.Если известно, какому гомологическому ряду принадлежит углеводород, за исключением ряда , то молекулярная формула такого углеводорода однозначно определяется его простейшей формулой.

Дело в том, что все углеводороды ряда имеют одну простейшую формулу , и потому только по ней найти молекулярную формулу гомолога невозможно. Во всех других случаях является единственным корнем соответствующего линейного неоднородного уравнения.

Руководствуясь теоремой 6, используем из условия задачи 2 информацию, определяющую простейшую формулу диенового углеводорода: 8 л об объеме паров воды и 12 л об объеме оксида углерода, пусть даже неизвестно какого. Запишем его формулу как . Тогда, на основании общей формулы диенового углеводорода и схемы реакции → + , составим уравнение ,

из которого найдём, что =3. Значит, формула диенового углеводорода - или .

Теорема 7. Если указано, какому гомологическому ряду принадлежит углеводород и известен индекс при его молекулярной формулы, то она определяется однозначно.

Действительно, если выполняются условия этой теоремы, то индексы при углероде и водороде зависят только от одного параметра , равного количеству атомов углерода в молекуле углеводорода, а потому при заданном молекулярная формула определяется однозначно.

В соответствии с этой теоремой исключим из условия задачи 2 информацию о плотности углеводорода и объеме оксида углерода (тем более, что в условии не указано, о каком оксиде идет речь). Тогда, записав общую формулу диенового углеводорода как , и неполное уравнение реакции

→ ,

на основании следствия из закона Авогадро имеем

(предполагается, что объемы измерены при одинаковых условиях), откуда находим индекс при . Значит, формула диенового углеводорода запишется как или .

Теперьиспользуем из условия задачи 2 данное 4 л, а также информацию об объеме оксида углерода, пусть даже неизвестно какого. Запишем его формулу как . Тогда

→ ,откуда , и снова .

Задача 3. Этиленовые углеводороды широко используются в промышленности для синтеза полимеров. Этиленовый углеводород объемом мл смешали с кислородом объемом мл, взятым в избытке, и подожгли. После приведения смеси газов к первоначальным условиям (вода конденсируется) объем их составил мл, а после поглощения смеси газов раствором щелочи объем газов составил мл. Выведите формулу этиленового углеводорода [15, с.38 – 39].

Сначала исключим из условия этой задачи данное « мл» и информацию «после поглощения смеси газов раствором щелочи объем газов составил мл», тем более, что это условие сформулировано некорректно.

Запишем формулу этиленового углеводорода в виде и неполное уравнение реакции → . Обозначим через мл объем углекислого газа, образованного в результате полного сгорания мл этиленового углеводорода. Тогда на основании следствия из закона Авогадро можно написать соотношение

,

( , поскольку в 90 мл входят и углекислый газ, и избыток кислорода). Значит, или , так как – целое положительное число. Но , ибо неизвестный углеводород – этиленовый. Поэтому индекс при , т.е. и по теореме 7 формула углеводорода примет вид или .

Теперьисключим из условия всю информацию кроме той, что этиленовый углеводород объемом мл полностью сгорает в мл кислорода, взятого в избытке. Записав уравнение реакции

и обозначив через мл объем кислорода, нужного для сгорания мл углеводорода, на основании следствия из закона Авогадро имеем соотношение:

( , так как в 120 мл входит и избыток кислорода), из которого следует, что . Но , так как углеводород этиленовый и , т.е. натуральное число . Значит, индекс при , т.е. и –формула углеводорода.

Приведем ещё решение, при котором исключим из условия информацию «объемом 120 мл, взятым в избытке». Тогда, учитывая, что при пропускании смеси газов через раствор щелочи остаток составил 30 мл и углеводород был взят в объеме 30 мл, то в избытке он не мог оказаться. Следовательно, в избытке был кислород.

Так как объем образовавшегося в результате реакции оксида углерода (IV) составил 90 – 30 = 60 (мл), то, записав формулу этиленового углеводорода в виде и неполное уравнение реакции → , на основании пропорции находим индекс при С: и снова приходим к выводу, что или – формула углеводорода.

Рассмотрим также решение, при котором удалим из условия слова “взятым в избытке” и “объем их составил 90 мл”. Тогда, как и выше, заключаем, что в избытке был кислород, в 120 мл которого полностью сгорает 30 мл этиленового углеводорода и вновь приходим к выводу, что – формула углеводорода.

И, наконец, приведем решение, при котором исключимлишнюю неколичественную информацию, переформулировав задачу:Смешали углеводород объемом 30 мл с кислородом объемом 120 мл и подожгли. После окончания реакции и приведения смеси газов к первоначальным условиям (вода конденсируется) объем их составил 90 мл, а после её пропускания через раствор щелочи объем уменьшился до 30 мл. Назовите углеводород, о котором идет речь.

Учитывая, что при пропускании смеси газов через раствор щелочи остаток составил 30 мл и углеводород был взят в объеме 30 мл, то в избытке он не мог оказаться. Следовательно, в избытке был кислород. Значит, объем прореагировавшего кислорода равен 120 – 30 = 90 (мл), а объем образовавшегося в результате реакции углекислого газа составляет 90 –30 = 60 (мл). Теперь, обозначив формулу углеводорода как и записав уравнение реакции 4 на основании следствия из закона Авогадро, получим систему: и , из которой находим индексы при и : , и или – формула углеводорода (этилен).

Задача 4. Два насыщенных углеводорода имеют одинаковый элементный состав: 85,614 % и 14,286 % по массе. Плотность паров этих углеводородов по аргону равна 1,4 и 2,1. Определите молекулярные формулы углеводородов. Для каждого углеводорода напишите структурные формулы двух изомеров и назовите эти изомеры по заместительной номенклатуре[14, с.187].

Поскольку два насыщенных углеводорода имеют одинаковый процентный состав элементов и разные плотности, то они не могут принадлежать к гомологическому ряду метана.

Следовательно, насыщенные углеводороды, о которых идёт речь в задаче, содержат циклы, а потому их общая формула – . Всем таким углеводородам соответствует одна и та же простейшая формула , поэтому информация о процентном содержании С и Н – лишняя. По теореме 5, учитывая, что относительные молекулярные массы углеводородов соответственно равны и , на основании формулы , имеем уравнения и , из которых находим и . Поэтому молекулярные формулы углеводородов будут и . На записях структурных формул изомеров не останавливаемся.

Поиск по сайту: