Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы при ударе

Рассуждения и действия, аналогичные выполненным в предыдущих параграфах для материальной точки, позволяют получит формулы для общих теорем механики при ударе для механической системы.

Так теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения в интегральной форме можно записать в виде

, (5.11)

где - масса всей механической системы, и - скорость центра масс до и после удара, а - главный импульс внешних ударных сил (импульс внешних неударных сил при ударе обращается в нуль). Поскольку перемещения точек, к которым приложены ударные силы, равны нулю, то центр масс при ударе не меняет своего положения. Скорость центра масс меняется мгновенно.

Интегральная форма теоремы об изменении кинетического момента, записанная для неподвижного центра, будет

, (5.12)

где и - кинетический момент точек механической системы относительно неподвижного центра О до и после удара, а - главный момент всех внешних импульсов ударных сил относительно точки О.

Если движение механической системы представить как сумму поступательного движения с кинематическими характеристиками центра масс и сферического движения относительно центра масс, то запись теоремы об изменении кинетического момента будет иметь структуру выражения (5.12), т.е.

, (5.13)

где и - кинетический момент точек механической системы до и после удара, вычисленные относительно движущегося центра масс С, а - вычисленный относительно точки С главный момент всех внешних импульсов ударных сил.

Для твердого тела удобно выбрать координатную систему, жестко связанную с телом; начало координат следует поместить в неподвижную точку (если она есть) либо в центр масс. Тогда, на основании (5.12) либо (5.13) и (2.16), можно записать систему скалярных уравнений

. (5.14)

В этих уравнениях и - проекции вектора угловой скорости тела в начале и в конце удара на - ю координатную ось, - соответствующий момент инерции, а - проекция момента внешних ударных сил на - ю координатную ось.

Если оси координат будут главными осями инерции, то при и выражения (5.14) существенно упростятся.

Если тело имеет плоскость материальной симметрии, параллельно которой происходит движение и все ударные силы лежат в этой плоскости, то из трех уравнений остается одно

, (5.15)

где ось - координатная ось, проходящая через центр масс тела перпендикулярно плоскости его материальной симметрии.

ПРИМЕР 5.1. Однородный стержень АО массы и длины , в точке О прикреплен к потолку цилиндрическим шарниром, а в точке А - нитью. В начальный момент времени стержень занимает горизонтальное положение (рис.5.4).

На горизонтальной гладкой плоскости на одной вертикали с шарниром О находится брусок массы ; расстояние от шарнира до плоскости . В некоторый момент времени нить была перерезана. Считая удар стержня по бруску абсолютно неупругим, определить скорость, которую будет иметь брусок после удара.

РЕШЕНИЕ. Определим скорость конца А стержня до удара, для чего воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме , где конечная кинетическая энергия стержня , начальная - , а работа активных сил .

Тогда .

Поскольку удар абсолютно неупругий ( ), то скорости соударяющихся тел после удара будут одинаковы, т.е. . Применим к механической системе из стержня и бруска теорему об изменении кинетического момента (5.12), спроецировав ее выражение на ось цилиндрического шарнира . Поскольку внешние импульсы ударных сил на эту механическую систему не действуют, . В таком случае кинетический момент системы до удара (когда брусок покоился), должен быть равен кинетическому моменту после удара, когда конец стержня и брусок обладают равными скоростями, т.е. , где ;

.

Тогда окончательно имеем

.

Поиск по сайту: