Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

В [6] было показано, что плоскопараллельное движение твердого тела эквивалентно движению плоской фигуры в ее плоскости. Последнее по методу полюса может быть разложено на переносное (поступательное движение вместе с кинематическими характеристиками точки, принятой за полюс), и относительное (вращение вокруг полюса). Первое из них определяется изменением во времени двух координат полюса, а второе – изменением во времени угла поворота. В задачах динамики в качестве полюса удобно выбирать центр масс тела С.

Для осуществления плоского движения свободного твердого тела необходимо выполнение следующих условий (см. формулы (2.10.а) и (2.26)): масса тела должна быть распределена симметрично относительно плоскости движения, проходящей через центр масс; начальные скорости точек тела должны быть расположены в плоскостях, параллельных плоскости движения; главный вектор внешних сил должен лежать в этой плоскости, а главный момент - быть перпендикулярным к ней.

Для несвободного тела движение может быть плоским и в силу наложенных на него связей.

Задачи динамики плоского движения тела аналогичны задачам динамики материальной точки: либо по заданным силам требуется найти законы изменения во времени координат полюса и угла поворота, либо найти силы, вызывающие заданное плоское движение твердого тела.

Пусть система координат , имеющая начало в центре масс тела, движется поступательно относительно неподвижной координатной системы . Систему координат жестко свяжем с телом (рис. 2.10).

Для описания поступательного движения тела применим теорему о движении центра масс; в проекциях на неподвижные оси получим

. (2.27)

Дифференциальное уравнение вращения получим, применив теорему об изменении кинетического момента относительно оси , проходящей через центра масс С перпендикулярно плоскости движения. Тогда можно записать

. (2.28)

Уравнения (2.27) и (2.28) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Если тело совершает несвободное движение, то в число действующих сил необходимо включить реакции связей .

Уравнения плоского движения примут вид

;

; (2.29)

.

Для получения решения задачи систему дифференциальных уравнений (2.29) следует дополнить уравнениями связей, наложенных на механическую систему.

ПРИМЕР 2.6. Однородный тяжелый цилиндр радиусом отпущен без начальной скорости и катится без скольжения по плоскости, наклоненной под углом к горизонту. Найти уравнения движения цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Цилиндр движется под действием сил тяжести , трения (сцепления) и нормальной реакции плоскости (см. рис.2.11.).

Введем систему координат , начало О которой соответствует начальному положению центра масс С цилиндра. Запишем дифференциальные уравнения движения цилиндра:

;

;

.

Добавим к ним уравнения связей, наложенных на цилиндр. Во-первых, при его качении без отрыва от наклонной плоскости , т.к. в процессе движения расстояние от центра масс С до наклонной плоскости не меняется и равно . Во-вторых, совпадение мгновенного центра скоростей цилиндра с точкой его контакта с неподвижной плоскостью позволяет связать скорость его центра масс с угловой скоростью вращения: или .

Первое уравнение связи следует продифференцировать по времени дважды, второе – один раз. Решив полученную систему дифференциальных уравнений относительно ускорения центра масс, получим

; .

Интегрируя это выражение с учетом нулевых начальных условий, получим

; .

Замечание: можно выяснить, при каких значениях угла осуществляется предполагаемое выше движение - качение без скольжения. Для этого вычислим отношение

.

Поскольку условие отсутствия скольжения есть (здесь - коэффициент трения скольжения), качение без скольжения будет иметь место при .

ПРИМЕР 2.7. Для механической системы, изображенной на рис.2.12, и состоящей из груза 1, прикрепленного к земле пружиной, двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков и однородного диска, составить замкнутую систему дифференциальных уравнений движения. Жесткости пружин и , вес груза , вес блоков , их радиусы и , а так же осевой момент инерции , вес диска и его радиус известны.

РЕШЕНИЕ. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы (см.рис.2.12). Для описания движения тел зададим соответствующие оси координат и запишем дифференциальные уравнения движения.

Уравнение для первого груза: ;

уравнения для соосных блоков: ; ; ;

уравнения для диска: ;

; .

Полагая, что в начале координат пружины были не напряжены, для сил упругости можно записать выражения ; .

Уравнения кинематических связей будут:

или ;

или .

В итоге получена замкнутая система из одиннадцати уравнений с одиннадцатью неизвестными.

Заметим, что рассмотренная механическая система обладает двумя степенями свободы, т.е. из четырех введенных координат независимыми являются только две.

Рассмотренный подход оказывается универсальным, так как позволяет решать задачи о движении механических систем, состоящих из любого числа тел и обладающих любым числом степеней свободы.

Поиск по сайту: