Метод кинетостатики (принцип Даламбера)

Пусть движение произвольной точки массой механической системы вызвано равнодействующей задаваемых сил и равнодействующей реакций связей. Тогда для -ой точки основное уравнение динамики имеет вид

; .

Перепишем его в форме

, (3.1)

где есть сила инерции.

Таким образом, для динамической задачи мы получили уравнение, которое можно трактовать как уравнение равновесия.

Поступая аналогично с другими точками системы и суммируя уравнения (3.1) по индексу , получим

.

Обозначив главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции соответственно через и , будем иметь

. (3.2.)

Умножив векторно на силы, входящие в (3.1), и суммируя их по , найдем главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции

. (3.3)

Уравнения (3.2) и (3.3) представляют принцип Даламбера: в каждый момент времени главный вектор сил инерции уравновешивает главные векторы активных сил и реакций связей; точно так же главный момент сил инерции относительно некоторого центра уравновешивает главные моменты активных сил и реакций связей.

Если действующие на -ую точку силы привести к равнодействующей внешних сил и равнодействующей внутренних сил , то, с учетом свойств внутренних сил, уравнения (3.2) и (3.3) примут вид

; , (3.4)

где - главный вектор внешних сил.

Принцип Даламбера дает удобный прием решения задач динамики несвободных систем. Путем приложения к точкам механической системы фиктивных сил инерции задача динамики легко сводится к соответствующей задаче статики. Уравнения (3.2) и (3.3) либо (3.4) называют уравнениями кинетостатики. Для использования этих уравнений необходимо правильно вычислять главный вектор и главный момент сил инерции механической системы, в частности, твердого тела.

Так при поступательном движении тела

при вращении тела вокруг неподвижной оси

при плоском движении тела

где С – центр масс твердого тела.

ПРИМЕР 3.1 (задача 41.7 из [2]). Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенный в вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки, расположенном в направлении движения, повышается до величины , а в противоположном конце понижается до . Положение акселерометра указано на рисунке 3.1; при этом

=25 мм, =75 мм.

РЕШЕНИЕ. Выделим в каждом колене элементарную массу . Жидкость можно полагать находящейся в равновесии, если к действующим силам веса добавить силы инерции (внутренние силы взаимодействия частиц не нанесены, так как их главный вектор равен нулю). Приравняем проекции на продольные оси первого и второго участков трубки главных векторов соответствующих сил (давление столба жидкости в нижней точке первого участка трубки должно быть равно давлению столба жидкости в нижней точке второго участка). Тогда

.

Вынесем постоянные величины за знаки суммирования. Введем массу единицы объема . Тогда масса жидкости в левой части трубки будет , главный вектор сил инерции , а сила веса жидкости ; выражения для соответствующих величин правого участка трубки аналогичны. Подставив полученные выражения в уравнение, сократим все слагаемые на массу единицы объема. Сгруппируем слагаемые, содержащие ускорение в левой части равенства, не содержащие ускорения – в правой. Окончательно получим

.

ПРИМЕР 3.2. Для механической системы из примера 2.8 найти силы натяжения нитей и .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся решением примера 2.8 для получения величины ускорения первого груза

; здесь амплитуда и начальная фаза полагаются вычисленными величинами (по начальным условиям движения). Для получения ускорений других тел механической системы продифференцируем по времени уравнения кинематических связей, т.е.

или ;

или ;

или .

Для того, чтобы механическая система находилась в равновесии, к действующим на ее тела силам (см. рис.3.2) следует добавить соответствующие силы инерции и моменты сил инерции:

Теперь запишем уравнение равновесия первого груза:

.

Из него находим силу натяжения первой нити .

Теперь запишем уравнение равновесия для соосных блоков:

.

Из него находим силу натяжения второй нити

Поиск по сайту: