Теорема об изменении кинетической энергии

2.6.1. Кинетическая энергия механической системы.Кинетической энергией материальной точки массы , движущейся со скоростью , называют величину

. (2.30)

Кинетической энергией механической системы называют сумму кинетических энергий включенных в эту систему материальных точек:

. (2.31)

В тех случаях, когда масса системы распределена непрерывно, суммирование в выражении (2.31) заменяют интегрированием по области распределения.

Найдем связь между значениями кинетической энергии механической системы в двух системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая движется поступательно со скоростью . В этом случае скорость точки в неподвижной координатной системе и относительная скорость связаны соотношением

. (2.32)

Тогда вместо (2.31) получим

. (2.33)

Здесь - относительная скорость центра масс; - кинетическая энергия механической системы в подвижной системе координат.

Если за начало координат подвижной системы принимается центр масс механической системы С, то выражение (2.33) упрощается (теорема Кенига):

. (2.34)

Использование выражений (2.31) и (2.34) позволяет сформулировать следующие правила вычисления кинетической энергии твердого тела: при поступательном движении тела массой со скоростью

; (2.35)

при вращении с угловой скоростью вокруг неподвижной оси тела с моментом инерции

; (2.36)

при плоскопараллельном движении твердого тела с угловой скоростью при значении центрального момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости движения, и значении момента инерции относительно мгновенной оси вращения

; (2.37)

при сферическом движении с угловой скоростью вращения

и значении момента инерции тела относительно мгновенной оси вращения

; (2.38)

в общем случае движения твердого тела

. (2.39)

Здесь момент инерции вычисляется относительно мгновенной оси такого сферического движения тела, которое оно совершает в системе осей, перемещающихся поступательно вместе с центром масс С.

В качестве примера вычислим кинетическую энергию механической системы, изображенной на рис.2.11, как сумму кинетических энергий тел ее формирующих. В этом случае

.

С учетом уравнений кинематических связей и выражение для кинетической энергии рассматриваемой механической системы с двумя степенями свободы может быть записано через любые две переменные, принятые за независимые. Например, если полагать независимыми и , то выражение для кинетической энергии примет вид

.

2.6.2. Энергетические характеристики. К энергетическим характеристикам силы относят ее мощность, работу и потенциальную энергию.

Мощностью силы , точка приложения которой движется со скоростью , называют величину

. (2.40)

Работа силы на элементарном интервале времени и соответствующем этому промежутку времени элементарному смещению точки приложения определяется по правилу

. (2.41)

Работой силы на конечном интервале времени [0; ] и соответствующем изменении радиуса – вектора точки приложения этой силы от до называют величину

. (2.42)

Работа момента пары сил вычисляется аналогично.

Потенциальная энергия определена только в тех случаях, когда выражение (2.41) представляет собой полный дифференциал :

. (2.43)

При выполнении условия (2.43) говорят, что сила потенциальна. Сопоставление формул (2.41) и (2.43) позволяет записать соотношения, связывающие проекции силы на оси выбранной координатной системы с функцией :

; ; . (2.44)

Если точка приложения силы переместилась из положения в положение , то путем интегрирования (2.43) можно получить

. (2.45)

Заметим (см. формулы (2.41), (2.44) и (2.45)), что потенциальная энергия определена с точностью до постоянного слагаемого; отмеченная особенность позволяет полагать потенциальную энергию равной нулю в выбираемой нами точке (например, в начале координат). В последнем случае формула (2.45) принимает вид

. (2.46)

Иными словами – потенциальная энергия равна работе сил по переводу системы из отклоненного положения в начальное.

В том случае, когда для совокупности сил, действующих на механическую систему, можно записать выражение потенциальной энергии , механическую систему называют консервативной. Такие механические системы обладают важными особенностями – работа действующих сил не зависит от вида траектории и закона движения по ней; работа при движении по замкнутому контуру равна нулю (см. (2.45)). Из (2.44) легко получить условия, при выполнении которых существует функция :

; ; . (2.47)

В качестве примера вычислим потенциальную энергию для трех частных, но важных для технических приложений, случаев: действуют сила тяжести, центральная сила и сила упругости пружины.

Для силы тяжести выполняются критерии (2.47); тогда, в соответствии с формулами (2.42) и (2.46), имеем

. (2.48)

Для центральной силы , модуль которой зависит от расстояния до начала координат, так же выполняются критерии (2.47), поэтому

. (2.49)

Силу упругости пружины можно считать центральной силой, направленной к началу координат; в случае прямой пропорциональности между величиной силы и удлинением пружины имеем . В этом случае

. (2.50)

При определении энергетических характеристик системы сил суммируют соответствующие характеристики для всех сил, действующих на механическую систему.

2.6.3. Теорема об изменении кинетической энергии.Умножим уравнения (2.5) скалярно на скорость и сложим.

,

где и - мощности внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему.

Заметим, что если связи между телами, формирующими систему, допускают деформацию (см. пружину жесткостью в примере 2.7), то точки приложения равных и противоположно направленных внутренних сил имеют различные скорости, вследствие чего их суммарная мощность не будет равной нулю.

Изменив порядок суммирования и дифференцирования в левой части равенства, ее можно привести к виду

.

Окончательно имеем запись теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

. (2.51)

- производная по времени от кинетической энергии механической системы равна мощности всех действующих сил.

В дифференциальной форме, основанной на понятии работы силы за элементарный промежуток времени, получим

. (2.52)

Интегрируя (2.52) на интервале времени [0; ], получим интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии

, (2.53)

где ; ; ; .

В частном случае, когда для совокупности внешних и внутренних сил системы можно записать выражение потенциальной энергии

,

вместо (2.52) имеем соотношение

. (2.54)

В такой системе выполняется закон сохранения полной механической энергии

,

а сама система называется консервативной.

ПРИМЕР 2.8. Для механической системы, изображенной на рис.2.13, и отличающейся от рассмотренной в примере 2.7 отсутствием пружины жесткостью , получить дифференциальное уравнение движения груза.

РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (2.51). Мысленно освободимся от связей, приложив к телам механической системы соответствующие реакции (см.рис.2.13).

Составим выражение для кинетической энергии механической системы:

.

Запишем уравнения кинематических связей:

или ;

или ;

или .

При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.

В формулу для кинетической энергии подставим угловые скорости вращения соосных блоков, диска и скорость центра масс диска, выраженные через скорость первого груза (в отличие от механической системы из примера 2.7, рассматриваемая система имеет одну степень свободы); тогда

.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска .

Продифференцировав выражение для кинетической энергии по времени, получим левую часть равенства (2.51):

.

Отметим, что в рассматриваемой системе внутренние связи не деформируемы, поэтому мощность внутренних сил должна быть равна нулю. Запишем выражение для мощности внешних сил:

,

при записи учтено, что сила упругости , а мощность силы сцепления, приложенной в мгновенном центре скоростей, равна нулю.

В выражение для мощности подставим скорость центра диска, выраженную через скорость первого груза; тогда

.

Приравняем выражения для левой и правой частей равенства (2.51); сократим их на . Перенесем переменные величины в левую часть равенства и поделим все слагаемые на постоянный коэффициент при ускорении первого груза. Окончательный вид искомого дифференциального уравнения будет

,

где .

Полученное неоднородное дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с частотой около смещенного на величину положения (положения статического равновесия механической системы), т.е.

,

где , а постоянные амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий движения.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какими свойствами обладают внутренние силы механической системы?

2. Как найти положение центра масс механической системы?

3. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы и ее следствия.

4. Как вычислить количество движения механической системы? Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной (интегральной) форме и ее следствия.

5. Как вычислить кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра (относительно центра масс)? 6. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра (центра масс) в дифференциальной (интегральной) форме и ее следствия.

7. Запишите дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела. Обратите внимание на одинаковость структур формул для поступательного и вращательного движений.

8. Как вычисляется и что характеризует осевой момент инерции масс твердого тела?

9. Как вычислить кинетическую энергию механической системы? Как вычислить работу переменной силы? Какова связь мощности и работы силы? Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной (интегральной) форме, если действующие силы разделить на внешние и внутренние (на задаваемые и реакции связей).

10. Решите следующие задачи из [2] : 35.4; 35.21; 36.9; 36.13; 37.6; 37.14; 37.33; 37.44; 37.53; 38.24; 38.31; 39.19; 39.15.

Метод кинетостатики.

Поиск по сайту: